2026年重庆中考数学第9题，我想到了5种方法解答，如果你有更好的方法请告诉我。
方法一：建坐标系
解题思路，如果能求出F点和G点的坐标就可以算出△BEF和△GCF的面积。
解答过程：
已知BE:EC＝1:2，设B点坐标(0,0)，则E点坐标(1,0)，C点坐标(3,0)，D点坐标(3,3)，A点坐标(0,3)
设过DE的直线为y1＝kx＋a，则过AF的直线为y2＝－x/k＋b
将D、E坐标代入y1＝kx＋a，得k＝3/2，a＝－3/2
将A坐标代入y2＝－2x/3＋b，得b＝3
F坐标为y1＝3x/2－3/2与y2＝－2x/3＋3的交点
解这个方程组得F坐标(27/13,21/13)
接下来求G点坐标
设过BF的直线方程为y3＝kx＋b，代入B点、F点坐标得k＝7/9，b＝0
所以过BF的直线方程为y3＝7x/9
将x＝3代入得y＝7/3，所以G点坐标(3,7/3)
三角形BEF面积为：1/2×1×21/13＝21/26
三角形GCF面积为：1/2×7/3×(3－27/13)＝28/26
所以S△BEF:S△GCF＝21/26:28/26＝3:4
方法二：利用BF与FG的比解答
解题思路，已知BE与EC的比，即S△BEF:S△EFC＝1:2，如果能算出BF与FG的比值就知道S△BCF与S△GCF的比值，从而推导出S△BEF与S△GCF的比值
要求BF:FG可以构造相似三角形，方法如下：
过F作HI//BC，分别交AB、DC于H、I
易证△BHF∽△GIF，BF:FG＝HF:FI
现在问题转换成了求HF:FI，即求出HF
易证△AHF∽△ECD，如能求出AF就能根据相似比求出HF
而AF可以利用△AFD∽△DCE，根据相似比求出
解答过程：
设BE＝1，则EC＝2，AD＝DC＝3，ED2＝EC2＋CD2＝13
△AFD∽△DCE，AD:AF＝ED:DC
将AD＝3、ED＝√13、DC＝3代入得AF＝(9√13)/13
△AHF∽△ECD，AF:HF＝ED:CD
将AF＝(9√13)/13、ED＝√13、CD＝3代入得HF＝27/13
FI＝HI－HF＝3－27/13＝12/13
∴HF:FI＝27/13:12/13＝9:4
∴BF:FG＝9:4，S△BCF:S△DCF＝9:4
∵BE:EC＝1:2，S△BFE:S△EFC＝1:2
设S△BCF＝9，S△DCF＝4，则S△BFE＝S△BCF/3＝3
∴S△BFE:S△DCF＝3:4
方法三：利用DG与CG的比解答
解题思路，已知BE与EC的比，即S△BEF:S△EFC＝1:2，如果能算出EF:FD的值、DG:GC的值就知道S△ECF:S△DCF的值、S△CFG:S△DFG的值从而推导出S△BEF与S△GCF的比值
易证△AFD∽△DCE，可以算出DE和DF，从而求出EF:FD
现在的问题是如何求出DG:GC
可以利用△BFE∽△HFD，求出HD
再利用△BGC∽△HGD，可以求出DG:GC＝HD:BC
解答过程：
设BE＝1，则EC＝2，AD＝DC＝3，ED2＝EC2＋CD2＝13
延长BG与AD交于点H
△AFD∽△DCE，AD:FD＝DE:CE，
将AD＝3、ED＝√13、CE＝2代入得FD＝(6√13)/13
EF＝ED－FD＝√13－(6√13)/13＝(7√13)/13
∴EF:FD＝7:6
△BFE∽△HFD，BE:HD＝EF:DF＝7:6
将BE＝1代入得HD＝6/7
△BGC∽△HGD，BC:HD＝CG:DG＝7:2
EF:DF＝7:6，CG:DG＝7:2，BE:CE＝1:2
设S△ECF＝7，则S△DCF＝6
S△GFC＝6×7/9＝14/3，S△BFE＝1/2×S△ECF＝1/2×7＝7/2
S△BFE: S△GFC＝7/2: 14/3＝3:4
方法四：利用DG与CG的比解答
解题思路，已知BE与EC的比，即S△BEF:S△EFC＝1:2，如果能算出EF:FD的值、DG:GC的值就知道S△ECF:S△DCF的值、S△CFG:S△DFG的值从而推导出S△BEF与S△GCF的比值
易证△AFD∽△DCE，可以算出DE和DF，从而求出EF:FD
现在的问题是如何求出DG:GC，我们用另一种方法求
解题过程：
设BE＝1，则EC＝2，AD＝DC＝3，EI＝x，CG＝3x，DG＝3－3x
可以利用△BEI∽△BCG，BE:BC＝1:3
利用上方法三的思路求出EF:DF＝7:6
△IFE∽△GFD，IE:GD＝EF:DF＝7:6
将EI＝x， DG＝3－3x代入得
x/(3－3x) ＝7/6，解得x＝7/9
从而CG＝3x＝7/3，DG＝CD－CG＝3－7/3＝2/3
CG:DG＝7/3:2/3＝7:2
后续解答参考方法三
方法五：分别求出S△BEF和S△GFC
解题思路：已知BE:EC＝1:2，设BE＝1，则EC＝2，AD＝CD＝3
已知△BEF的底BE，需要知道高FI
而△GFC需要知道底GC和高FJ
利用方法三EF:FD＝7:6，△FEI∽△DEC
FI:DC＝7:13求出FI
△AFD∽△HFE，EF:FD＝7:6求出HE，减掉EC可算出HC
△HCK∽△HBA，可算出CK，FI减掉CK可算出JK，从而算出JK:CK
再由△HCK∽△FJK，可算出FJ（△GFC的高）
BC、FJ已知，可算出LF，从而得到LF:FJ
△AFB∽△KFG，可算出GC（△GFC的底）
解题过程：设BE＝1，则EC＝2，AD＝CD＝3
利用方法三EF:FD＝7:6
易证△FEI∽△DEC
FI:DC＝EF:ED＝7:13，将DC＝3代入得FI＝21/13
∴S△BFE＝1/2×BE×FI＝1/2×1×21/13＝21/26
易证△AFD∽△HFE，EF:FD＝7:6
HE:AD＝EF:FD＝7:6，将AD＝3代入得HE＝7/2
∴HC＝HE－EC＝7/2－2＝3/2
易证△HCK∽△HBA
HC:HB＝CK:BA，将HC＝3/2、CB＝AB＝3
HB＝HC＋CB＝3/2＋3＝9/2代入得
CK＝1
∴JK＝JC－CK＝FI－CK＝21/13－1＝8/13
∴CK:JK＝1: 8/13＝13:8
易证△HCK∽△FJK
HC:FJ＝CK:JK＝13:8，将HC＝3/2代入得
FJ＝12/13，∴FL＝JL－FJ＝3－12/13＝27/13
FL:FJ＝27/13: 12/13＝9:4
易证△AFB∽△KFG
AB:GK＝FL:FJ＝9:4，将AB＝3代入得GK＝4/3
∴GC＝GK＋CK＝4/3＋1＝7/3
∴S△GFC＝1/2×GC×FJ＝1/2×7/3×12/13＝14/13
∴S△BFE:S△GFC＝21/26:14/13＝3:4
