中考数学 专题12 韦达定理及其应用

专题12 韦达定理及其应用

复习目标

1、会运用根与系数关系解题。

2、对一元二次方程以及其根有更深刻的了解，培养分析问题和解决问题的能力。

考点梳理

一、根的判别式

4、常见的形式：

例1．一元二次方程x^2-7=0的根的情况是（　　）

A．没有实数根

B．有两个相等的实数根

C．有两个不相等的实数根

b^2-D．无法判断

【答案】C

【分析】

把a=1，b=0，c=-7代入△=b^2-4ac，然后计算△，最后根据计算结果判断方程的根的情况即可．

【详解】

解：∵ a=1，b=0，c=-7，

△=b^2-4ac>0

∴ 方程有两个不相等的实数根．

故选：C．

二、韦达定理

【答案】（1）5；3；（2）5/3；（3）35；（4）410

【分析】

（1）根据韦达定理得出α+β=5，αβ=3．

（3）根据一元二次方程的解的定义得出α²-5α+3=0，即α²=5α-3，则2α²-3αβ+10β变形为10（α+β）-3αβ-6，再代入数值计算即可．

（4）根据已知得到α+β=5，α^2=5α-3，α^2-5α=-3，再代入α^4+95β+1中逐步变形，即可计算．

【详解】

解：（1）∵α，β是方程x²-5x+3=0的两根，

∴α+β=5，αβ=3．

故答案为：5；3；

（3）∵α方程x²-5x+3=0的根，

∴α²-5α+3=0，即α²=5α-3，

∴2α²-3αβ+10β=10α-6-3αβ+10β=10（α+β）-3αβ-6=10×5-3×3-6=35．