专题09 二元一次方程（组）及其应用
复习目标
1、能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型
2、掌握代入消元法和加减消元法，能解二元一次方程组。
3、能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理。
考点梳理
一、二元一次方程
（1）二元一次方程的概念
含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。
二元一次方程的一般形式：ax+by+c=0（a≠0，b≠0）。
判定二元一次方程必须同时满足三个条件：
①方程两边的代数式都是整式——整式方程；
②含有两个未知数——“二元”；
③含有未知数的项的次数为 1——“一次”。
（2）二元一次方程的解
使二元一次方程左、右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。一般情况下，一个二元一次方程有无数个解。
例1．下列方程中是二元一次方程的是（）
【答案】B
【分析】
根据二元一次方程组的定义判断逐项分析即可，方程的两边都是整式，含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1次的方程叫做二元一次方程．
【详解】
故选B．
二、二元一次方程组
（1）二元一次方程组的概念
由几个一次方程组成并且含有两个未知数的方程组，叫二元一次方程组。
注意：二元一次方程组不一定由两个二元一次方程合在一起：方程可以超过两个，有的方程可以只有一元（一元方程在这里也可看作另一未知数系数为 0 的二元方程）。
（2）二元一次方程组的解
二元一次方程组的解必须满足方程组中的每一个方程，同时它也必须是一个数对，而不能是一个数。
（3）二元一次方程组的解法
a.代入消元法
代入消元法是解二元一次方程组的基本方法之一。
通过等量代换，消去方程组中的一个未知数，使二元一次方程组转化为一元一次方程，从而求得一个未知数的值，然后再求出被消去未知数的值，从而确定原方程组的解的方法。
步骤：
①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数，例如 y，用另一个未知数如 x 的代数式表示出来，即写成 y = ax + b 的形式；
② y = ax + b 代入另一个方程中，消去 y ，得到一个关于 x 的一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求出 x 的值；
④回代求解：把求得的 x 的值代入 y = ax + b 中求出 y 的值，从而得出方程组的解。
b.加减消元法
加减法是消元法的一种，也是解二元一次方程组的基本方法之一。加减法不仅在解二元一次方程组中适用，也是今后解其他方程（组）经常用到的方法。
步骤：
①变换系数：把一个方程或者两个方程的两边都乘以适当的数，使两个方程里的某一个未知数的系数互为相反数或相等；
②加减消元：把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；
④回代：将求出的未知数的值代入原方程组中，求出另一个未知数的值。
例2．下列方程组为二元一次方程组的是（）
【答案】B
【分析】
根据二元一次方程组的定义，即含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是 1 的方程叫做二元一次方程判断即可；
【详解】
故选B．
【答案】A
【分析】
根据加减消元法即可求解．
【详解】
故选A．
三、二元一次方程的应用
1、列方程组解应用题的基本思想
列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系。
所列方程必须满足：
(1) 方程两边表示的是同类量；
(2) 同类量的单位要统一；
(3) 方程两边的数值要相等。
2、二元一次方程组的应用步骤
（1）审题：弄清题意及题目中的数量关系
（2）设未知数：可直接设元，也可间接设元
（3）找等量关系：根据相关公式变量等，找出题目中的等量关系
（4）列方程组：根据题目中能表示全部含义的等量关系列出方程，并组成方程组
（5）解方程组：利用消元法等方法解所列的方程组
（6）检验：检验解的正确性，是否满足实际问题
（7）答话：回答题目问题
3、常用的基本等量关系
1.行程问题：
(1)追击问题：追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行。这类问题比较直观，画线段，用图便于理解与分析。
其等量关系式是:两者的行程差＝开始时两者相距的路程。
(2)相遇问题：相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行。这类问题也比较直观，因而也画线段图帮助理解与分析。
这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和＝总路程。
(3)航行问题：
①船在静水中的速度＋水速＝船的顺水速度；
②船在静水中的速度－水速＝船的逆水速度；
③顺水速度－逆水速度＝2×水速。
注意：飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。
2.利润问题：
(1)利润＝售价－成本(进价)；
(2)利润＝成本（进价）×利润率；
(3)标价＝成本(进价)×(1＋利润率)；
(4)实际售价＝标价×打折率；
注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；为负时，就是亏损。打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售。（例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十）
3.储蓄问题：
(1)基本概念
①本金：顾客存入银行的钱叫做本金。
②利息：银行付给顾客的酬金叫做利息。
③本息和：本金与利息的和叫做本息和。
④期数：存入银行的时间叫做期数。
⑤利率：每个期数内的利息与本金的比叫做利率。
⑥利息税：利息的税款叫做利息税。
(2)基本关系式
①利息＝本金×利率×期数
②本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金× (1＋利率×期数)
③利息税＝利息×利息税率＝本金×利率×期数×利息税率
④税后利息＝利息× (1－利息税率)
⑤年利率＝月利率×12
注意：当题目中涉及免税利息时，需要明晰免税利息=利息
4.数字问题：
解决这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示。如当n为整数时，奇数可表示为2n+1(或2n-1)，偶数可表示为2n等。
有关两位数的基本等量关系式为：两位数=十位数字10+个位数字
5.其他问题：
（1）工程问题：工作效率×工作时间=工作量
（2）增长率问题：原量×(1＋增长率)＝增长后的量；原量×(1－减少率)＝减少后的量
（3）和差倍分问题：较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量
（4）几何问题：解决这类问题的基本关系式有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式
（5）年龄问题：解决这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数是相等，两人的年龄差是永远不会变的
例4．《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五：人出七，余三：问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，多余3钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，可列方程组为（）
【答案】B
【分析】
根据“若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，多余3钱”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
【详解】
解：设合伙人数为x人．羊价为y元，
依题意，得：
故选：B．
四、涉及二元一次方程需要注意以下要点：
(1)解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去
(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称
(3)一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组。
(4)列方程组解应用题应注意的问题：
①弄清各种题型中基本量之间的关系；
②审题时注意从文字，图表中获得有关信息；
③注意用方程组解应用题的过程中单位的书写，设未知数和写答案都要带单位，列方程组与解方程组时，不要带单位；
④正确书写速度单位，避免与路程单位混淆；
⑤在寻找等量关系时，应注意挖掘隐含的条件；
⑥列方程组解应用题一定要注意检验。
