26高考真题05 | 圆与直线解析几何压轴小题

这篇之前发的是贴图（原因原文链接中说了），而且当时并没有配图，今天重发一下（水一下）

该题是圆与直线的解析几何压轴小题，而且不仅仅只有几何、代数，更考察了函数方程与不等式，综合性很强！

【2026年全国I卷T14】（关注：Hi数学派）已知圆 ，圆 ，圆 。直线  与  均有两个交点。记  被  截得的弦长分别为 ，则（    ）

 可以取任意实数
 满足  的直线  共有  条
 满足  的直线  多于  条
 当  时， 的最大值为 

解析： 三个圆的圆心分别为 ，半径均为 。这三个圆心构成边长为  的正三角形。

设圆心  到直线  的距离为 ，则弦长

直线与三圆均相交等价于 。

① 对于 

若直线  的法向量平行于 ，即法向量为  时，直线斜率 

此时  与  在法向量方向上的投影距离正好为 

对于该方向上的任意直线 ，必然有 ，这与  且  矛盾。

故  不能取 ， 错误。

② 对于 

由距离公式有

即

由  可得  或 

• 若 ，则

  此时

  符合题意，有  条直线。

• 若 ，则

  此时

  符合题意，有  条直线。

综上，共有  条满足条件的直线， 正确。

当  时，直线 

设 ，则

由  得

弦长之和

③ 对于 

令 ，即 

两边平方并整理得：

解得  或 ，均在区间  内且满足 

由于每个确定的  值（且 ）对应  两个值，故仅在  时就有  条直线满足条件。

故   正确。

④ 对于 

利用柯西不等式求  的最大值

当且仅当

时等号成立，解得

等号可取到

故最大值为 

故   正确。

综上所述，选 故