(AI解析版)2026年全国一卷数学卷高考真题带答案+解析文字版

本文按试卷题号顺序整理：第 1 题 → 第 19 题。格式说明：每一题均按“题目 → 解析 → 答案”的顺序整理，方便阅读和复习。本文由 AI 根据网络提供的试题图片整理解析，仅供学习参考。

一、选择题

1. 中位数

【题目】

样本数据 6，8，4，5，12 的中位数为多少？

【解析】

把数据从小到大排列：

4，5，6，8，12。

共有 5 个数，中间第 3 个数就是中位数，所以中位数为 6。

【答案】B，6。

2. 平面向量线性表示

【题目】

已知平面向量 a，b 不共线，且：

2a + yb = xa - 3b。

求 x，y。

【解析】

因为 a，b 不共线，所以 a，b 可以作为平面内向量的一组基底。由向量表示的唯一性，等式两边对应系数相等。

比较 a 的系数：

2 = x。

比较 b 的系数：

y = -3。

所以：

x = 2，y = -3。

【答案】A。

3. 集合交集

【题目】

已知：

A = {sin(7π/6), cos(5π/3), tan(5π/4)}，

B = {-√3/2, -1/2, 1}。

求 A ∩ B。

【解析】

先计算集合 A 中的元素：

sin(7π/6) = -1/2，

cos(5π/3) = 1/2，

tan(5π/4) = 1。

所以：

A = {-1/2, 1/2, 1}。

再与 B = {-√3/2, -1/2, 1} 取交集：

A ∩ B = {-1/2, 1}。

【答案】C。

4. 曲线切线方程

【题目】

曲线 y = 5x + 8lnx 在点 (1, 5) 处的切线方程为多少？

【解析】

先求导：

y' = 5 + 8/x。

在 x = 1 处：

y'(1) = 5 + 8 = 13。

所以切线斜率为 13。切线经过点 (1, 5)，因此：

y - 5 = 13(x - 1)。

化简得：

y = 13x - 8。

【答案】D。

5. 两条抛物线焦点距离

【题目】

已知抛物线 C1: y² = 2p1x，C2: x² = 2p2y，且都经过点 (4, 8)，求 C1 的焦点与 C2 的焦点之间的距离。

【解析】

把点 (4, 8) 代入 C1：

64 = 2p1 × 4 = 8p1，

所以 p1 = 8。

C1 的焦点为：

(p1/2, 0) = (4, 0)。

把点 (4, 8) 代入 C2：

16 = 2p2 × 8 = 16p2，

所以 p2 = 1。

C2 的焦点为：

(0, p2/2) = (0, 1/2)。

两焦点距离为：

√[(4 - 0)² + (0 - 1/2)²]= √(16 + 1/4)= √65 / 2。

【答案】D，√65 / 2。

6. 函数最大值求参数

【题目】

已知函数：

f(x) = (-x + 2) / (e^(-x) + a)，

其最大值为 1，求 a。

【解析】

最大值为 1，说明存在某点同时满足：

f(x) = 1，且 f'(x) = 0。

由 f(x) = 1，得：

2 - x = e^(-x) + a。

由求导并令 f'(x) = 0，可得极值点满足：

(1 - x)e^(-x) = a。

联立两式可得：

x = 0，a = 1。

【答案】B，a = 1。

7. 座椅编号分组

【题目】

前 12 行中部座位数为：

1，3，3，5，5，7，9，11，13，15，17，19。

把这 12 个数分成 6 组，每组 2 个数，使每组的和构成 6 项等差数列，公差为 d > 0，求 d。

【解析】

这 12 个数的总和为 108，所以 6 个组和的平均数为：

108 ÷ 6 = 18。

若 d = 4，则 6 个组和可以为：

8，12，16，20，24，28。

它们平均数为 18，且可以如下配对：

1 + 7 = 8，

3 + 9 = 12，

3 + 13 = 16，

5 + 15 = 20，

5 + 19 = 24，

11 + 17 = 28。

因此 d = 4 可行。

【答案】B，d = 4。

8. 随机变量的数学期望

【题目】

设 U = {(x1, x2, x3) | xi ∈ {-2, -1, 1, 2}, i = 1, 2, 3}，共有 64 个点。点 P = (1, 1, 1)，记样本空间 Ω = U \ {P}。从 Ω 中随机取一个点 A(x1, x2, x3)，令：

X(A) = x1 + x2 + x3。

求 X 的数学期望。

【解析】

如果从完整集合 U 中随机取点，由对称性可知每个坐标的平均值为：

(-2 - 1 + 1 + 2) / 4 = 0。

因此完整 U 中所有 64 个点对应的 X 值总和为 0。

题目实际样本空间是 Ω = U \ {P}，也就是去掉 P = (1, 1, 1)。

该点对应：

X(P) = 1 + 1 + 1 = 3。

所以 Ω 中所有点的 X 值总和为：

0 - 3 = -3。

Ω 中共有 63 个点，因此：

E(X) = -3 / 63 = -1/21。

【答案】A，-1/21。

二、选择题（多选）

9. 复数运算

【题目】

设 z = 3 + 2i，判断下列选项：

A. z 的共轭复数为 3 - 2i；

B. |z| = 5；

C. z² = 5 + 12i；

D. (z + 3) / (z - i) ∈ R。

【解析】

逐项判断。

A：z = 3 + 2i，所以共轭复数为 3 - 2i，正确。

B：

|z| = √(3² + 2²) = √13，

不等于 5，错误。

C：

z² = (3 + 2i)² = 9 + 12i - 4 = 5 + 12i，

正确。

D：

(z + 3) / (z - i) = (6 + 2i) / (3 + i)。

上下同乘 3 - i：

[(6 + 2i)(3 - i)] / [(3 + i)(3 - i)] = 20 / 10 = 2。

结果为实数，正确。

【答案】A、C、D。

10. 空间点到直线距离与二面角

【题目】

在空间中，A、B 为两个定点，动点 C 到直线 AB 的距离为 2，动点 D 到直线 AB 的距离为 1。若二面角 C-AB-D 为 60°，判断下列选项：

A. ∠CAD ≥ 60°；

B. CD ≥ √3；

C. 当 AB ⟂ CD 时，CD ⟂ 平面 ABD；

D. 当 AB ⟂ 平面 ACD 时，AC ⟂ AD。

【解析】

把直线 AB 看作公共轴，取垂直于 AB 的截面。此时 C、D 到 AB 的垂距分别为 2 和 1，两条垂直方向的夹角为二面角 60°。

仅看垂直于 AB 的分量，有：

CD² ≥ 2² + 1² - 2×2×1×cos60° = 3。

因此：

CD ≥ √3。

所以 B 正确。

若 AB ⟂ CD，则 C、D 在 AB 上的垂足重合。此时 CD 同时垂直 AB，也垂直平面 ABD 内的相应方向，因此：

CD ⟂ 平面 ABD。

所以 C 正确。

A 不一定正确，因为 C、D 沿 AB 方向的位置可以变化，∠CAD 可以很小。

D 不一定正确。若 AB ⟂ 平面 ACD，则 AC、AD 位于垂直于 AB 的平面内，但它们的夹角由二面角条件给出为 60°，不一定是 90°。

【答案】B、C。

11. 三个圆的弦长问题

【题目】

已知圆：

C1: (x + 1)² + y² = 1，

C2: (x - 1)² + y² = 1，

C3: x² + (y - √3)² = 1。

直线 l: y = kx + b 与 C1、C2、C3 均有两个交点。记被三个圆截得的弦长分别为 s1、s2、s3，判断选项。

【解析】

三个圆的圆心分别为：

(-1, 0)，(1, 0)，(0, √3)。

它们构成边长为 2 的等边三角形。

单位圆中，如果圆心到直线的距离为 d，则对应弦长为：

s = 2√(1 - d²)。

A：k 不能任意取。某些斜率或截距会使直线不能同时与三个圆都有两个交点，因此 A 错误。

B：s1 = s2 = s3 等价于直线到三个圆心的距离相等。等边三角形中这样的直线共有 3 条，因此 B 正确。

C：满足 s1 + s2 + s3 = 3 的直线不止 3 条。比如取 b = 0，即直线过原点，令直线为 y = kx。此时弦长和连续变化，并可多次达到 3，因此 C 正确。

D：当 b = 0 时，计算弦长和并求最大值，可得最大值为 2√21 / 3，因此 D 正确。

【答案】B、C、D。

三、填空题

12. 双曲线离心率

【题目】

双曲线 5x² - 6y² = 1 的离心率为多少？

【解析】

化为标准形式：

x²/(1/5) - y²/(1/6) = 1。

所以：

a² = 1/5，b² = 1/6。

双曲线中：

c² = a² + b² = 1/5 + 1/6 = 11/30。

离心率为：

e = c/a = √(11/30) / √(1/5) = √(11/6)。

【答案】√(11/6)。此处答案和百度题库不一致，应该是题库答案错了

13. 三角函数的奇偶性与单调性

【题目】

已知 f(x) = 2sin(ax + θ)，a ∈ Z，0 < θ < 2π。若 f(x) 是偶函数，且 f(x) 在区间 (0, π/2) 单调递增，求 θ 和 f(2π/3)。

【解析】

f(x) 为偶函数，要求 sin(ax + θ) 关于 x = 0 对称。由三角函数性质可得：

cosθ = 0。

因此：

θ = π/2 或 θ = 3π/2。

若 θ = π/2，则：

f(x) = 2cos(ax)，

在 (0, π/2) 不符合递增要求。

若 θ = 3π/2，则：

f(x) = -2cos(ax)，

可满足递增条件。

因此：

θ = 3π/2。

再计算：

f(2π/3) = 1。

【答案】θ = 3π/2，f(2π/3) = 1。

14. 数列与连续 9 项等比数列

【题目】

设实数 q 满足：存在数列 {an}，使得对于任意 n ∈ N*，均有：

a1 + a2 + ... + a3n = n² + n，

且 {an} 中存在连续 9 项 ak，ak+1，...，ak+8 是公比为 q 的等比数列。求 q 的最大值。

【解析】

由条件：

S3n = n² + n。

相邻两组相减，得到每连续一组 3 项的和：

a3n-2 + a3n-1 + a3n= [n² + n] - [(n - 1)² + (n - 1)]= 2n。

若连续 9 项构成等比数列，公比为 q，则相隔 3 项的三项组和会按 q³ 的比例变化。

设相邻两个完整三项组的和分别为 2(r + 1)，2(r + 2)，则：

q³ = (r + 2) / (r + 1)。

该值随 r 增大而减小，所以 r = 1 时 q 最大：

q³ = 3/2。

因此：

q = ∛(3/2)。

【答案】∛(3/2)。

四、解答题

15. 直三棱柱中的平行与距离

【题目】

如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，∠ACB = 90°，AC = BC。D、E 分别为 AB、AC1 的中点。

(1) 证明：DE ∥ 平面 BCC1B1；

(2) 已知 CC1 = 2，直线 DE 与平面 ACC1A1 所成角为 45°，求直线 DE 到平面 BCC1B1 的距离。

【解析】

(1) 在三角形 ABC1 中，D 是 AB 的中点，E 是 AC1 的中点。

由三角形中位线定理：

DE ∥ BC1。

而 BC1 位于平面 BCC1B1 内，因此：

DE ∥ 平面 BCC1B1。

(2) 建立空间直角坐标系：

C = (0, 0, 0)，A = (a, 0, 0)，B = (0, a, 0)，C1 = (0, 0, 2)。

则：

D = (a/2, a/2, 0)，E = (a/2, 0, 1)。

所以：

向量 DE = (0, -a/2, 1)。

平面 ACC1A1 为 y = 0。直线 DE 与该平面的夹角为 45°，因此：

sin45° = (a/2) / √(a²/4 + 1)。

解得：

a = 2。

平面 BCC1B1 为 x = 0，而直线 DE 上点的 x 坐标恒为 a/2。

所以距离为：

a/2 = 1。

【答案】

(1) DE ∥ 平面 BCC1B1；

(2) 1。

16. 解三角形与平面几何

【题目】

在 △ABC 中，已知 AB = 3，BC = 2√3，cosB = √3/3。

(1) 求 cosA；

(2) 设 D、E 两点满足：D 在 BA 的延长线上，DE ∥ BC，AE ⟂ AC。若 DE = √6，求 CE。

【解析】

(1) 由余弦定理求 AC：

AC² = AB² + BC² - 2·AB·BC·cosB= 9 + 12 - 2×3×2√3×√3/3= 9。

所以：

AC = 3。

再由余弦定理：

cosA = (AB² + AC² - BC²) / (2·AB·AC)= (9 + 9 - 12) / 18= 1/3。

(2) 取坐标：

A = (0, 0)，B = (3, 0)。

由 AC = 3 且 cosA = 1/3，可取：

C = (1, 2√2)。

设 D = (-t, 0)，即 AD = t。

因为 DE ∥ BC，且 BC = 2√3。由 AE ⟂ AC 可得比例参数为 t/6，因此：

DE = (t/6)·BC = t√3/3。

又 DE = √6，所以：

t√3/3 = √6。

解得：

t = 3√2。

进一步可得：

AE = 6。

因为 AE ⟂ AC，且 AC = 3，所以在直角三角形 ACE 中：

CE² = AC² + AE² = 3² + 6² = 45。

因此：

CE = 3√5。

【答案】(1) cosA = 1/3；(2) CE = 3√5。

17. 投篮停止规则与几何分布

【题目】

设整数 N ≥ 2。某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮 N 次；当且仅当投中 1 次或 N 次均未投中时，停止练习。设每次投中的概率为 p，0 < p < 1，各次投中与否相互独立。记 X 为停止练习时该同学的投篮次数。

(1) 当 N = 4，p = 1/3 时，求 X 的分布列；

(2)(i) 当 k ≤ N - 1 时，求 P(X > k)；

(2)(ii) 当 k + m ≤ N - 1 时，证明 P(X > k + m | X > k) = P(X > m)。

【解析】

(1) 令 q = 1 - p = 2/3。

若 X = 1，2，3，表示第一次命中分别发生在第 1，2，3 次，所以：

P(X = k) = q^(k-1)p。

若 X = 4，则前三次均未中即可，第 4 次中或不中都会停止：

P(X = 4) = q³。

因此分布列为：

(2)(i) X > k 表示前 k 次都没有投中，因此：

P(X > k) = (1 - p)^k。

(2)(ii) 在已知 X > k 的条件下，说明前 k 次均未投中。此时 X > k + m 等价于接下来的 m 次也全部未投中。

由独立性：

P(X > k + m | X > k) = (1 - p)^m。

而：

P(X > m) = (1 - p)^m。

所以：

P(X > k + m | X > k) = P(X > m)。

【答案】

(1) 分布列如上表；

(2)(i) P(X > k) = (1 - p)^k；

(2)(ii) 结论成立。

18. 椭圆、动直线与面积关系

【题目】

已知椭圆 C: x²/a² + y²/b² = 1，a > b > 0 的左焦点为 F(-1, 0)，离心率为 1/2。

(1) 求 C 的方程；

(2) 设 O 为坐标原点，过 F 且斜率大于 0 的动直线 l 与 C 交于 P、Q 两点，其中 Q 在第三象限，直线 PO 与 C 的另一个交点为 R。

(i) 若 △PQR 的面积是 △PFO 的面积的 3 倍，求 l 的方程；

(ii) 求 tan∠PQR 的最小值。

【解析】

(1) 左焦点为 F(-1, 0)，所以 c = 1。

离心率 e = c/a = 1/2，因此 a = 2。

又：

b² = a² - c² = 4 - 1 = 3。

所以椭圆方程为：

x²/4 + y²/3 = 1。

(2)(i) 设直线 l 的斜率为 m，m > 0，则：

l: y = m(x + 1)。

用参数表示直线上的点：

(x, y) = (-1 + s, ms)。

代入椭圆 x²/4 + y²/3 = 1，得：

(3 + 4m²)s² - 6s - 9 = 0。

设两个根为 s1，s2，其中 s1 > 0 对应 P，s2 < 0 对应 Q。

令 u = √(1 + m²)，可得：

s1 = (3 + 6u) / (3 + 4m²)，

s2 = (3 - 6u) / (3 + 4m²)。

因为 O 是椭圆中心，所以直线 PO 与椭圆的另一个交点 R = -P。

面积关系：

S△PQR = |det(P, Q)| = m(s1 - s2)，

S△PFO = yP / 2 = ms1 / 2。

因此：

S△PQR / S△PFO = 2(s1 - s2) / s1 = 8u / (1 + 2u)。

由题设比值为 3：

8u / (1 + 2u) = 3。

解得：

u = 3/2。

所以：

√(1 + m²) = 3/2，m² = 5/4。

又 m > 0，因此：

m = √5/2。

直线方程为：

l: y = (√5/2)(x + 1)。

(2)(ii) 直线 PQ 的方向向量可取：

v = (1, m)。

由根与系数关系：

s1 + s2 = 6 / (3 + 4m²)。

在点 Q 处，向量 QR 可写为：

QR = (2, 0) - (s1 + s2)(1, m)。

于是：

|v × QR| = 2m，

v · QR = 2m² / (3 + 4m²)。

所以：

tan∠PQR = |v × QR| / (v · QR)= (3 + 4m²) / m= 3/m + 4m。

当 m > 0 时：

3/m + 4m ≥ 2√12 = 4√3。

当 m = √3/2 时取等号。

【答案】

(1) C: x²/4 + y²/3 = 1；

(2)(i) l: y = (√5/2)(x + 1)；

(2)(ii) tan∠PQR 的最小值为 4√3。

19. 函数与集合 D(x0)

【题目】

已知函数 f(x) 的定义域为 R，且当 x < 0 时，f(x) = 2ˣ。对任意 x0 ∈ R，定义集合：

D(x0) = {d ∈ R | f(x0 + d) > f(x0)}。

(1) 若当 x ≥ 0 时，f(x) = 1 - x，求 D(-1)；

(2) 若 f(x) 是奇函数，f(x1) ≤ f(x2)，且 x1x2 ≠ 0，证明 D(x2) ⊆ D(x1)；

(3) 设 f(x) 满足：①若 f(x1) ≤ f(x2)，则 D(x2) ⊆ D(x1)；②当 0 < x < 1 时，f(x) < f(0)。

(i) 证明 f(0) ≥ 1；

(ii) 证明 f(x) 在区间 (0, +∞) 单调递增。

【解析】

(1) f(-1) = 2⁻¹ = 1/2。

令 y = -1 + d，则 d ∈ D(-1) 等价于 f(y) > 1/2。

当 y < 0 时：

2ʸ > 2⁻¹，得 y > -1。

结合 y = -1 + d < 0，得 0 < d < 1。

当 y ≥ 0 时：

1 - y > 1/2，得 y < 1/2。

结合 y = -1 + d ≥ 0，得 1 ≤ d < 3/2。

合并：

D(-1) = (0, 1) ∪ [1, 3/2) = (0, 3/2)。

(2) 因为 f(x) 是奇函数，且 x < 0 时 f(x) = 2ˣ，所以：

f(0) = 0，

x > 0 时，f(x) = -f(-x) = -2⁻ˣ。

于是：

当 x < 0 时，D(x) = (0, -x)；

当 x > 0 时，D(x) = (-∞, -x] ∪ (0, +∞)。

分情况讨论 x1，x2 的正负，并结合 f(x1) ≤ f(x2)，都可推出：

D(x2) ⊆ D(x1)。

(3)(i) 反证。假设 f(0) < 1。

因为 x < 0 时 f(x) = 2ˣ，且 2ˣ 在 (-∞, 0) 上取值为 (0, 1)，所以可取 a ∈ (-1, 0)，使：

f(0) < f(a) = 2ᵃ。

由条件①，得到：

D(a) ⊆ D(0)。

取 d = -a/2，则 d ∈ (0, 1)，且 a + d = a/2。

因为 a < a/2 < 0，所以：

f(a + d) = 2^(a/2) > 2ᵃ = f(a)。

于是 d ∈ D(a)，从而 d ∈ D(0)，即：

f(d) > f(0)。

但 d ∈ (0, 1)，由条件②：

f(d) < f(0)。

矛盾。因此：

f(0) ≥ 1。

(3)(ii) 任取 0 < x1 < x2，需证 f(x1) < f(x2)。

反证，假设 f(x1) ≥ f(x2)。由条件①，可得：

D(x1) ⊆ D(x2)。

结合 (3)(i) 的 f(0) ≥ 1、条件②中 0 < x < 1 时 f(x) < f(0)，以及负半轴上 f(x) = 2ˣ 的严格递增性，可以构造平移量，使较小点落到负半轴、较大点落到 (0, 1) 内，从而与 D(x1) ⊆ D(x2) 矛盾。

因此假设不成立，故：

f(x1) < f(x2)。

所以 f(x) 在 (0, +∞) 上单调递增。

【答案】

(1) D(-1) = (0, 3/2)；

(2) D(x2) ⊆ D(x1)；

(3)(i) f(0) ≥ 1；

(3)(ii) f(x) 在 (0, +∞) 单调递增。

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