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一、选择题
1.
设 ，，。当 时，以上 个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是：
- （A）。
- （B）。
- （C）。
- （D）。
答案：（B）
解析：
当 时，
因此从低阶到高阶为 ，故选 B。
2.
已知函数 满足：
则 的一个原函数是：
- （A） 时，； 时，。
- （B） 时，； 时，。
- （C） 时，； 时，。
- （D） 时，； 时，。
答案：（D）
解析：
时，； 时，。由原函数连续性 得 ，故选 D。
3.
反常积分
的敛散性为：
- （A）(1) 收敛，(2) 收敛。
- （B）(1) 收敛，(2) 发散。
- （C）(1) 发散，(2) 收敛。
- （D）(1) 发散，(2) 发散。
答案：（B）
解析：
令 ，则
代入上下限可知，① 收敛且值为 ，② 发散，故选 B。
4.
设函数 在 内连续，其导函数的图形如图所示，则：
- （A）函数 有 个极值点，曲线 有 个拐点。
- （B）函数 有 个极值点，曲线 有 个拐点。
- （C）函数 有 个极值点，曲线 有 个拐点。
- （D）函数 有 个极值点，曲线 有 个拐点。
答案：（B）
解析：
由 的符号变化判断极值点，由 的单调性变化判断拐点。图中 变号 次，单调性改变 次，所以有 个极值点、 个拐点，故选 B。
5.
设函数 具有二阶连续导数，且 。若两条曲线 在点 处具有公切线 ，且在该点处曲线 的曲率大于曲线 的曲率，则在 的某个邻域内，有：
- （A）。
- （B）。
- （C）。
- （D）。
答案：（A）
解析：
因 ，两曲线在 附近位于其切线下方，即 。又曲率较大且同为下凹，得 ，故 。因此选 A。
6.
已知函数 ，则：
- （A）。
- （B）。
- （C）。
- （D）。
答案：（D）
解析：
所以 ，故选 D。
7.
设 ， 是可逆矩阵，且 与 相似，则下列结论错误的是：
- （A） 与 相似。
- （B） 与 相似。
- （C） 与 相似。
- （D） 与 相似。
答案：（C）
解析：
若 ，则 ，且 与 也相似；同时
但转置与相加一般不能保持同一相似变换，故 C 错。
8.
设二次型
的正、负惯性指数分别为 ，则：
- （A）。
- （B）。
- （C）。
- （D） 与 。
答案：（C）
解析：
对应矩阵为
其特征值为 。正、负惯性指数为 ，故 且 ，即 ，故选 C。
二、填空题
9.
曲线
的斜渐近线方程为 ________。
答案：
解析：
由
得斜渐近线为 。
10.
极限
________。
答案：
解析：
原式化为黎曼和：
11.
以 和 为特解的一阶非齐次线性微分方程为 ________。
答案：
解析：
两特解之差 是对应齐次方程的解，故 。代入特解 ，得 ，所以方程为 。
12.
已知函数 在 上连续，且
则当 时， ________。
答案：
解析：
由 ，且
得 ，。继续求导可得 ，故
13.
已知动点 在曲线 上运动，记坐标原点与点 间的距离为 。若点 的横坐标对时间的变化率为常数 ，则当点 运动到点 时， 对时间的变化率是 ________。
答案：
解析：
由
得
令 ，，得 。
14.
设矩阵
与
等价，则 ________。
答案：
解析：
第二个矩阵的秩为 。第一个矩阵的行列式为
当 时秩为 ；当 时秩为 。故 。
三、解答题
15.
求极限
解析：
设原式为 ，则
由泰勒展开
得 。故原极限为
16.
设函数
求 并求 的最小值。
解析：
分段计算得
因此
驻点为 ，且
所以 的最小值为 。
17.
已知函数 由方程
确定，求 的极值。
解析：
对 求偏导并令 ，得
结合原方程，解得唯一驻点为
在该点处二阶偏导为
因 且 ，故 在 处取得极大值，极大值为 。
18.
设 是由直线 ，， 围成的有界区域，计算二重积分
解析：
区域 关于 轴对称，故
于是
其中面积为 。取第一象限部分 ，有
故
19.
已知 ， 是二阶微分方程
的两个解，若 ，，求 并写出该微分方程的通解。
解析：
将 代入方程，化简得
所以
积分得
再积分并代入 ，得
因此 ，方程通解为
20.
设 是由曲线
与参数方程
围成的平面区域，求 绕 轴旋转一周所得旋转体的体积和表面积。
解析：
体积为两曲线绕 轴所得旋转体体积之差：
计算得
表面积由两段边界旋转所得：
故总表面积为
21.
已知 在 上连续，在 内是函数
的一个原函数，且 。
（1）求 在区间 上的平均值；
（2）证明 在区间 内存在唯一零点。
解析：
（1）由
交换积分次序：
故平均值为
（2）由
可知 于 ， 于 。因此 为最小值点，且 。
又 ，且 ，结合单调性可知， 在 内存在唯一零点。
22.
设矩阵
且方程组 无解。
（1）求 的值；
（2）求方程组 的通解。
解析：
（1）由无解知 。计算得
检验秩可知： 时无解， 时有解。因此
（2）当 时，
增广矩阵化简为
故通解为
23.
已知矩阵
（1）求 ；
（2）设 阶矩阵 满足 。记 ，将 分别表示为 的线性组合。
解析：
（1）特征多项式为
故 可对角化。由特征向量组成
有 。因此
（2）由 ，递推得
所以
即