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一、选择题
1.
若函数
在 处连续，则（ ）
- A.
- B.
- C.
- D.
答案： A
解析：
由 ，得
连续性要求 ，故 。
2.
设二阶可导函数 满足
则（ ）
- A.
- B.
- C.
- D.
答案： B
解析：
因 ， 为严格凸函数。它在 与 上均位于连接端点的弦下方，而两段弦与 轴所围有向面积均为 ，故
3.
设数列 收敛，则（ ）
- A. 当 时，
- B. 当 时，
- C. 当 时，
- D. 当 时，
答案： D
解析：
A 可取 ；B、C 可取 排除。
对 D，函数 严格单调递增，且 ，故 可推出 。
4.
微分方程的特解可设为（ ）
- A.
- B.
- C.
- D.
答案： C
解析：
特征方程为
得特征根 。对非齐次项 ，前者不共振，后者共振一次，故特解可设为
5.
设 具有一阶偏导数，且对任意 ，都有
则（ ）
- A.
- B.
- C.
- D.
答案： D
解析：
由条件知 关于 单调递增，关于 单调递减。因此
故选 D。
6.
甲、乙两人赛跑。计时开始时，甲在乙前方 处。图中实线表示甲的速度曲线 ，虚线表示乙的速度曲线 。三块阴影部分面积的数值依次为 。计时开始后乙追上甲的时刻记为 ，则（ ）
- A.
- B.
- C.
- D.
答案： B
解析：
乙追上甲需满足
结合图中面积的正负累积可知， 时尚未追上，而 前已经追上，故
7.
设 为三阶矩阵， 为可逆矩阵，且
则 （ ）
- A.
- B.
- C.
- D.
答案： B
解析：
由
可得
8.
设矩阵
则（ ）
- A. 与 相似， 与 相似
- B. 与 相似， 与 不相似
- C. 与 不相似， 与 相似
- D. 与 不相似， 与 不相似
答案： B
解析：
三者特征值均为 。
对 ，特征值 的特征子空间维数为 ，可对角化，故 。
对 ，特征值 的特征子空间维数为 ，不可对角化，故 。
二、填空题
9.
曲线
的斜渐近线方程为 ______
答案：
解析：
斜率
截距
故斜渐近线为 。
10.
设函数 由参数方程
确定，则
答案：
解析：
所以
代入 ，得
11.
答案：
解析：
令 ，则
分部积分得结果为 。
12.
设函数 具有一阶连续偏导数，且
则 ______
答案：
解析：
由 ，得
再由 ，得 。结合 ，故
13.
答案：
解析：
交换积分次序：
因此结果为
14.
设矩阵
的一个特征向量为
则 ______
答案：
解析：
由 ，有
故 ，，得 。
三、解答题
15.
求极限
解析：
令 ，则
于是
16.
设函数 具有二阶连续偏导数，
求
解析：
由链式法则，
故
再求导并代入 ：
17.
求
解析：
该和式为定积分
分部积分：
18.
已知函数 由方程
确定，求 的极值。
解析：
两边求导：
令 ，得 。代回原方程得
再求二阶导判断：
故极大值为
极小值为
19.
设函数 在区间 上具有二阶导数，且
证明：
（1）方程 在区间 内至少存在一个实根；
（2）方程
在区间 内至少存在两个不同实根。
解析：
（1）由
可知 ，且存在充分小的 ，使 。又 ，由零点定理，存在
使 。
（2）由 ，罗尔定理得存在
使 。令
则
分别在 与 上对 用罗尔定理，得两个不同点 ，使
而
故结论成立。
20.
已知平面区域
计算二重积分
解析：
区域关于 轴对称，故 。于是
用极坐标，，得
故原积分为
21.
设 是区间 内的可导函数，且 。点 是曲线 上任意一点， 在点 处的切线与 轴相交于点 ，法线与 轴相交于点 。若 ，求 上点的坐标 满足的方程。
解析：
设 。切线在 轴上的截距为
法线在 轴上的截距为
由 ，得
令 ，即 ，则
积分得
由 得 。代回 ，并化简得曲线方程
22.
设 阶矩阵
有 个不同的特征值，且
（1）证明：；
（2）若
求方程组 的通解。
解析：
（1）由
知列向量线性相关，故 ，所以 是 的特征值。
又 有三个不同特征值，因此另外两个特征值非零，故
（2）由
知齐次方程基础解系可取
又
故非齐次方程通解为
23.
设二次型
在正交变换 下的标准型为
求 的值及一个正交矩阵 。
解析：
二次型对应矩阵为
标准型只有两个非零平方项，故 ，即
计算得
此时
其特征值为
对应的两两正交特征向量可取
单位化后取
于是
故标准型为