海口市2026中考数学模拟(二)22——流行的共圆

海口市2026中考数学模拟（二）22——流行的共圆

还是希望做参考答案的高手，尽量少用易证、易得这样的写法，确实有的学生反应没那么快，答案除了给出最后的结果和阅卷的评分标准外，学生还是希望能通过答案完全理解一个问题的。这不，这个参考答案中的易证，就有学生提出疑问问了，易证到底是怎么证的呢？学生虽然没想明白，但是这种严谨的精神非常值得发扬。

还是先来看题目是什么，如图：

【这里有点小瑕疵，（3）应是如图11-3】

答案的方法请看答案，我们来拆解下这个问题的结构。

先看第（1）问，正方形中，已知条件是∠AFE=∠BCE，这时典型的对角互补共圆的条件，放在第一问，难度大于过往海南中考几何综合的第一问，虽然叙述简单，但是如果我们把这个题的条件稍微改写一下，相信大家都很熟悉，如图：

其实都是一回事。∵∠AFE=∠BCE，∴∠EFB+∠AFE=∠EFB+∠BCE=180°，由四边形内角和为360°，知∠ABC+∠FEC=180°，即∠FEC=90°。相对原题条件给的稍微隐晦一点，但是都是直接指向E、F、B、C四点共圆，则连接FC后，如图，

即有∠EFC=∠DBC=45°。自然△EFC为等腰三角形，也就是EF=EC且EF⊥EC。

第（2）问由正方形类比至长方形，图形发生变化，如图：

∠AFE=∠BCE，还是保证了B、F、C、E四点共圆，（后续有时间会对基础四点共圆的判定条件进行总结与证明）

则有∠FBC=∠FEC=90°。由第（1）问，我们继续连接CF，如图，有

第（3）问，由题知有两种情况，结果运算过程答案写的很清晰，我们这里只对弱化后的图形结构进行稍微思考，即删去△DEC为等腰三角形这个条件。如图，

这便是易证的原因。当然，无论△DEC是什么三角形，都有G、H、C、D为矩形。

而所谓的EH÷CG，就是如图：

消去无关点，如图：

其实就是确定E点位置后求∠ECB的正弦值。如果这种情况下建系，确定E点坐标后，∠ECB的正弦值不是显然的吗？