【导语】
本期是《中考数学压轴题解题门道》系列第4期。承接上篇，本篇为下篇（进阶篇），聚焦第(3)问——从比值 出发，通过相似三角形和中位线，推导出 与 的函数关系式。这是几何压轴题的“深水区”，需要熟练运用比例转化和代数运算。吃透这一问，几何综合题的思路就通了。
第三问：化静为动的函数思维
这是本题的“深水区”。题目不再给具体数字，而是给定比值 和 ，需要推导出 与 的关系式。
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2026长沙中考·几何压轴专题【04】
--- 圆与切线、相似三角形、射影定理
考点：切线判定 + 勾股定理 + 相似三角形 + 射影定理 + 中位线
本题：练习圆的切线证明、直角三角形边角计算、动态比例关系转化
题目
如图1， 是 圆的直径，点在圆上，点是直径延长线上一点，且满足，作于点。
(1) 求证： 是 的切线；(2) 若 ，求 的长；
(3) 如图2，延长 交 圆 于点 ，延长 交圆 于点 ，连接 与 交于点 ，若 ，，求 与 之间的函数关系式。
图2
解答第(3)问：求 y 与 x 的函数关系式
图3（以下为解题作图）
解题思路:
几何搭桥：连接 ，通过证明平行得到 ，同时利用 中位线定理得出 。 设参表示：设 ，半径为 ，把所有相关的线段（ 等）都用 表示出来。 化简求比：利用相似比算出 的长度，代入 中，化简得到一个极简的中间结论：。 勾股收尾：在 Rt 中利用勾股定理，找出 和 的关系（），代入上一步的式子，消去参数，最终得出 。
解题核心就是“设参 相似 勾股 消元”！
辅助线与几何性质分析 
图4 如图4，连接。 • 因为是的直径，根据圆周角定理，，即。 • 已知，即。 • 所以（即）。 • 由此可得。
设参并表示线段
图5 • 如图5，设 的半径为，即。
• 设。因为，所以。
• 在图2中，点在半径上，所以。
• 在中，是的中点，且（都垂直于），所以是的中位线。
• 因此，。
利用相似三角形建立比例关系
图6
如图6，由 可得：
因为点 在线段 上，所以 。
根据比例性质：
解得：
求解 y 的表达式
题目已知。
观察线段，它由和组成，即。 将 的表达式代入：
分子分母同时乘以 ：
化简得：
利用勾股定理消去参数 
图7
如图7，在 Rt 中，由勾股定理 ：
展开得：
因为 ，两边同除以 得：
即：
联立求解 将 的值代入 中：
【最终答案】 与 之间的函数关系式为：
方法归纳：一句话：“几何为骨，代数为魂。设参消元，柳暗花明。”
本题第(3)问综合了圆、相似三角形、勾股定理、比例性质、中位线等多个几何知识点，
代数化简能力有着决定性的作用。从设参到消元，每一步都需要熟练的代数式变形和比例式处理。几何思路清晰是前提，计算能力过硬才是关键。
