初中生挑战华东师范考研真题, 能秒吗?

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课程学员问了这样一个问题, 虽然这个问题有lie代数背景, 但是作为中学生考试, 如何通俗易懂的讲出来更为重要, 读标准答案是不可取的. 此外似乎此题也是华东师范早年的一个考研真题.

题目

设

求线性变换

的Jordan标准型.

分析

本题如果直接取自然基, 写出表示矩阵非常复杂. 所以策略是猜测最终Jordan标准型的样子, 然后构造基使得恰好是这个Jordan. 此外微分算子涉及两个分量不好分析, 我们考虑所谓的特征线法, 即换元转化为单变量微分算子来计算.

证明

注意到

不妨设, 则我们直接来构造的一个基使得在这个基下为Jordan标准型.

考虑

然后按顺序排列

这里一共有

个多项式. 考虑, 此时

考虑最高次数可得

于是显然作用对应一个Jordan块, 我们接下来只需证明是线性无关的.

当, 注意到最高次项为, 这是互不相同的, 因此是线性无关的.于是我们证明了在这个基下表示矩阵为

因此一般情况的Jordan标准型为

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