2026越秀区中考数学二模第25题(反演模型之“线生圆”),几何压轴题疑难点+师生对话+GGB绘图指令

四季读书网 2026-06-02 23:28:02 2 0

笔者按：2026年中考数学其实越秀区没有组织二模，我们目前看到的是笔者好朋友、七中实验的高级教师李林华老师命制的二模试题，这份题命制的很不错，对于学生数学思维考查也很到位，深度剖析这些题目，学习如何拆解条件，如何审题分析，都有一定的好处。🌿

原题呈现

已知正方形的边长为。

(1) 如图1， $F、$ 分别在 $AB、$ 边上，交于，且。

① 求证：；② 连接，当最大时，求线段的长。

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(2) 如图2，为中点，是上动点，在上，在上，满足，，求的最小值。

一、逐小问详细解答（第一问为常见的“十字架模型”，要确保不丢分）

(1)① 证明

四边形是正方形

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在与中：

(1)② 求最大时长度

由全等得：动点在以为直径的上运动（为中点，半径，）。

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角度最值模型：定边定圆，切线时张角最大当与相切时，取得最大值；切，又。，中，可证切于，。

设，

则（）：。由：

(2) 求最小值

✿ 步骤1：角度+相似定点（延长FN交CE于点M，下面证出为定长）

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是中点，，，设；，

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关键点在这里——由这组相似，得到∠BPC=∠CFN，

又因为∠MCF=CED=a，（a为上述的角阿拉法）

从而得到第二组相似，即△PBC∽△FCM ,

结合是定点，， $、、$ 三点共圆（在外接圆上，定弦）。

看看动态图：

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静态图如下：

辅助线：在圆O上取点G，连接MG，CG，作OH垂直CG于点H，连接OM，OC，

第二个关键点，倒角证明出CH=HM？

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上述的证明有些笔误，请感兴趣的读者进行纠正，并且如果还有其它解法，也可私信笔者或者在评论区留言，谢谢！

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✿ 步骤2：求外接圆半径

，；设，由勾股：半径。

✿ 步骤3：最小值（圆外定点到圆上最短：）

二、学生高频疑难点拆解

序号	疑难知识点	易错点说明
1	(1)②最大条件	不知道定弦定圆，切线时张角最大，容易误以为在中点时角度最大，忽略轨迹是圆；不会由相似得到
2	隐圆识别：定角定边	直角对定边，在以为直径的圆，是初三隐圆核心模型，学生想不到轨迹为圆
3	(2)定点推导	由结合推出定点，学生难理解“边长比例锁定定点”
4	轨迹是外接圆	定弦，定角，在定圆上；圆外一点到圆最短距离=定点到圆心距−半径是最值关键
5	三角函数+参数求外接圆半径	结合设，构造勾股方程，学生不会参数设法

三、师生互动对话（课堂答疑版）

生1：老师，(1)②为什么DP相切时最大？
师：在上动，是定点，定边，从向圆作线交圆于，切线是临界位置，圆上点中只有切点让张开到最大，类比：站在定点看圆形围墙，视线相切时视野角度最大。
生2：怎么快速看出的轨迹是圆？
师：直角顶点，斜边固定，初中定理：直角对定斜边，直角顶点轨迹是以斜边为直径的圆（除 $、$ ），就是隐圆模型。
生3：第(2)问为什么是定点，恒等于3？
师：，相似比，对应边成比例，，，固定=3，和位置无关，所以定点。
生4：最小值为什么是半径？
师：在定上，是圆外定点，连接与圆心，连线和圆近侧交点就是最短点，，最远是。

四、板书设计（分三块板书）

板书板块1：(1)①全等证明

正方形ABCD ⇒ AB=BC，∠A=∠ABC=90°

AE=BF

∴△ABE≌△BCF(SAS)

板书板块2：(1)②隐圆+切线最值

全等→

轨迹：（为直径，）

切

，

板书板块3：(2)定点+隐圆求

中点，相似（定点）

在外接，

五、GeoGebra动态绘制指令（分图1、图2两段代码，直接复制到GGB运行）

【图1指令：(1)小题动态图，P在隐圆上滑动】

// 建正方形ABCD

A=(0,6),B=(0,0),C=(6,0),D=(6,6)

Polygon(A,B,C,D)

// BC中点O，隐圆（P轨迹圆）

O=Midpoint(B,C)

c=Circle(O,3)

// 动点P在圆c上

P=Point(c)

// BE、CF：由AE=BF约束

E=(0+t,6),F=(6-t,0),t=Slider(0,6)

BE=Segment(B,E),CF=Segment(C,F)

// 连线DP

DP=Segment(D,P)

// 标注角度

α=Angle(C,D,P)

Text("∠CDP="+α,D+(0.2,0.3))

// 切线辅助：作D到圆c切线

Tangent(D,c)

【图2指令：(2)小题，P在BE滑动，N在外接圆运动，BN动态变化】

// 正方形

A=(0,6),B=(0,0),C=(6,0),D=(6,6)

Polygon(A,B,C,D)

// E是AD中点

E=Midpoint(A,D)

BE=Segment(B,E)

// P为BE上动点

P=Point(BE)

// CF=1/2 BP

l=Length(B,P)

F=(6-l/2,0)

CF=Segment(C,F)

// 定点M，CM=3

M=(6,3)

// N在CP上，∠CNF=∠EBC

α=Angle(E,B,C)

N=Point(Segment(C,P))

// △CMN外接圆

Ocirc=Circumcircle(C,M,N)

// 连接BN，动态观察最值

BN=Segment(B,N)

Text("BN="+Length(B,N),B+(0,0.5))

// BO连线，半径r

r=Radius(Ocirc)

O=Center(Ocirc)

BO=Segment(B,O)

Text("BNmin=BO-r="+Length(B,O)-r,B+(0,-0.5))

最终答案汇总

(1)① 证明如上； $②$ ；

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文章来源：四季读书网

2026越秀区中考数学二模第25题(反演模型之“线生圆”),几何压轴题疑难点+师生对话+GGB绘图指令

原题呈现

(1) 如图1，F、分别在AB、边上，交于，且。

(2) 如图2，为中点，是上动点，在上，在上，满足，，求的最小值。

一、逐小问详细解答（第一问为常见的“十字架模型”，要确保不丢分）

(1)① 证明

(1)② 求最大时长度

(2) 求最小值

✿ 步骤1：角度+相似定点（延长FN交CE于点M，下面证出为定长）

✿ 步骤2：求外接圆半径

✿ 步骤3：最小值（圆外定点到圆上最短：）

二、学生高频疑难点拆解

三、师生互动对话（课堂答疑版）

四、板书设计（分三块板书）

板书板块1：(1)①全等证明

板书板块2：(1)②隐圆+切线最值

板书板块3：(2)定点+隐圆求

五、GeoGebra动态绘制指令（分图1、图2两段代码，直接复制到GGB运行）

【图1指令：(1)小题动态图，P在隐圆上滑动】

【图2指令：(2)小题，P在BE滑动，N在外接圆运动，BN动态变化】

最终答案汇总

(1) 如图1， $F、$ 分别在 $AB、$ 边上，交于，且。