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一、选择题
本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
第 1 题
当 时， 是 的
- A. 低阶无穷小
- B. 等价无穷小
- C. 高阶无穷小
- D. 同阶但非等价无穷小
解析： 设 ，则
故 ，因而相对于 是高阶无穷小。
答案： C
第 2 题
函数
在 处
- A. 连续且取极大值
- B. 连续且取极小值
- C. 可导且导数为
- D. 可导且导数不为
解析： 有
故在 处连续。又
答案： D
第 3 题
有一圆柱体底面半径与高随时间变化的速率分别为 、。当底面半径为 ，高为 时，圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为
- A.，
- B.，
- C.，
- D.，
解析： 设 ，且 。则
代入 ，得
答案： C
第 4 题
设函数 ，其中 。若 有两个零点，则 的取值范围是
- A.
- B.
- C.
- D.
解析： 有
故极小点在 。要使函数有两个零点，极小值必须小于 0，即
因 ，故
答案： A
第 5 题
设函数 在 处的 2 次泰勒多项式为 ，则
- A.，
- B.，
- C.，
- D.，
解析： 因为
故
所以 。
答案： D
第 6 题
设函数 可微，且
则
- A.
- B.
- C.
- D.
解析： 对两式分别求导，得
分别取 与 ，得到
解得 ，故
答案： C
第 7 题
设函数 在区间 上连续，则
- A.
- B.
- C.
- D.
解析： 把区间 等分成 份，每段长度为 ，取中点 ，则其黎曼和恰为
故极限即原积分。
答案： B
第 8 题
二次型
的正惯性指数与负惯性指数依次为
- A.
- B.
- C.
- D.
解析： 展开得
对应矩阵为
其特征多项式为
故特征值为 。所以正惯性指数为 1，负惯性指数为 1。
答案： B
第 9 题
设 3 阶矩阵 ，。若向量组 可以由向量组 线性表出，则
- A. 的解均为 的解
- B. 的解均为 的解
- C. 的解均为 的解
- D. 的解均为 的解
解析： 由题意，存在矩阵 使
若 ，则
故 的任意解都是 的解。
答案： D
第 10 题
已知矩阵
若存在下三角可逆矩阵 和上三角可逆矩阵 ，使 为对角矩阵，则 ， 可以分别取
- A.，
- B.，
- C.，
- D.，
解析： 对 先做行初等变换化为阶梯形，可得到左乘矩阵
再做列初等变换将其化为对角形，可得到右乘矩阵
故应选 C。
答案： C
二、填空题
本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
第 11 题
解析： 被积函数为偶函数，
令 ，则
答案：
第 12 题
设函数 由参数方程
确定，则
解析： 先求
再对 求导并除以 ，最后代入 ，得
答案：
第 13 题
设函数 由方程
确定，则
解析： 先把 代入原方程，得 。再对原方程关于 求偏导：
代入 ，得
故 。
答案：
第 14 题
已知函数
则
解析： 先交换积分次序并整理，可得
对 求导，再代入 ，得
答案：
第 15 题
微分方程 的通解
解析： 特征方程为
根为
故通解为
答案：
第 16 题
多项式
中 项的系数为
解析： 沿第一列展开，只需保留可能产生 的项。计算后可知含 的部分只有 与 ，故系数为
答案：
三、解答题
本题共 6 小题，共 70 分。请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第 17 题
求极限
解析： 原式可化为
又
并用 、，可得原极限为
第 18 题
已知
求 的凹凸性及渐近线。
解析： 分段写成
于是
故：
- 在 、 上，，函数为凹；
- 在 上，，函数为凸。
又
故垂直渐近线为
并且
故斜渐近线分别为
第 19 题
满足
为曲线 ，其中 。 的弧长为 ， 绕 轴旋转一周所形成的曲面的面积为 ，求 和 。
解析： 由题意
故
于是
故弧长
旋转曲面的面积为
第 20 题
函数 的微分方程
满足 。
- 求 ；
- 为曲线 上的一点，曲线在点 的法线在 轴上的截距为 。为使 最小，求 的坐标。
解析：
方程化为
解得
由 ，得 ，故
设 在曲线上，则
法线斜率为 ，法线方程在 轴上的截距为
这是偶函数，只考察 。求导得
解得极值点 ，且此时取最小值。于是
故所求点为
且最小截距为
第 21 题
曲线
其中 ，与 轴围成的区域为 ，求
解析： 作极坐标变换
边界方程化为
因 ，故 。于是
计算得
第 22 题
设矩阵
仅有两个不同的特征值。若 相似于对角矩阵，求 的值，并求可逆矩阵 ，使 为对角矩阵。
解析： 先求特征多项式：
因仅有两个不同特征值，故有两种情况。
情况一：
此时特征值 为二重根。由 可对角化知，其特征子空间维数应为 2。考察
可得必须有 。
这时可取特征向量
取
则
情况二：
同理，此时特征值 为二重根。考察
可得必须有 。
这时可取特征向量
取
则
