2026年江苏省普通高等学校第二十三届高等数学竞赛试题(本科一级A)

一、填空题(每小题5分,共40分)

1. 设为正整数，若函数

在时有界，则______。

1. 设，则的不同实根的个数为______。

2. 设为单位圆的内接正边形的面积，则

1. 若把、及轴围成图形分成面积相等的两部分，则常数______。

2. 设数列单调增加，，发散，则级数的收敛域是______。

3. 以曲线

为准线，母线平行于直线的圆柱面的方程是______。

1. 设连续且

则______。

1. 设曲线是由，及轴围成区域的全部边界，则

二、(15分)

设由

确定，试判断曲线在点附近的凹凸性。

三、(15分)

求不定积分

四、(16分)

(1) 设点位于球面的第一卦限内，求函数

的最大值；

(2) 证明：当均为正数时，

五、(16分)

设是椭球面的外侧，计算

六、(16分)

设幂级数的收敛域是，它的和函数满足

试建立与的递推关系，并求的表达式。

七、(16分)

(1) 证明：当，在上连续时，

(2) 若在上连续且，试分别说明定积分

是否存在最小值与最大值？如存在，请求出及的值；如不存在，请说明理由。

八、(16分)

设

(1) 求； (2) 证明：； (3) 证明：

2026年江苏省普通高等学校第二十三届高等数学竞赛试题(本科一级A)解答

一、填空题解答

1. 由洛必达法则

取时函数在有界。 答案：

1. 由罗尔定理与重根性质，不同实根个数为。 答案：

2. 单位圆内接正边形面积

答案：

1. 区域总面积

平分后每部分面积，解得

答案：

1. 收敛半径，收敛区间，得收敛域

答案：

1. 圆柱面方程

1. 由极限条件得

答案：

1. 分段计算第一型曲线积分，求和得

答案：

二、(15分)

由，代入得，此时。

由参数二阶导数公式

计算得

曲线在该点附近凹。

三、(15分)

设，分部积分：

四、(16分)

(1) 构造拉格朗日函数

求得极值点

最大值

(2) 变量替换结合(1)结论平方化简，即得

五、(16分)

向量场

除原点外，作小椭球面挖去原点，利用高斯公式与椭球体积

计算得原积分值

六、(16分)

由幂级数逐项求导

代入微分方程比较系数：

由初值，偶数项全为0，奇数项递推得

七、(16分)

(1) 构造

二次函数恒非负，判别式，即证柯西积分不等式。

(2) 由柯西不等式

取

最小值存在； 构造函数列可使，故无最大值。

八、(16分)

(1) 由泊松积分

得

(2) 构造，求导分析单调性与极限，得，即

(3) 构造

利用积分放缩与导数分析最值，得，即