【中考】抛物线切线最值模型又一例(2026深大附中三模第19题)

【解析】

• 第(1)问

，理由略．

• 第(2)问

这一问只有角度关系，不便直接与抛物线建立联系，不过问题形式是抛物线和圆二选一，可以先假设为圆，再考察圆中的角度关系，来进行验证或排除.

假设轮廓线是圆，则应有等弧对等角，

即，

，，

故假设不成立，

轮廓线为抛物线.

接下来建系求解析式，题中已有垂直平分关系，建系的思路是现成的.

以为轴，为轴建立直角坐标系，

则抛物线顶点，

，，

设，代入点坐标得：

，

解得，．

• 第(3)问

在轴上，点的坐标已知，给出条件与的长度有关，不妨直接以的长为未知参数，这样即可表达出点的纵坐标，再利用解析式得到的横坐标，也就是的长度，从而利用线段长度关系建立方程.

设，则，

由题意，，，

，

整理得：，

(舍)或，

离水面的距离为米．

• 第(4)问

尝试平移，可以注意到，当平移得到的直线与抛物线有且只有一个交点时，即与抛物线相切时，这个交点(切点)就是抛物线上到距离最小的点，因而与抛物线之间的距离也就是与平行线之间的距离.

设出的平行线的解析式，联立与抛物线的解析式得到一个一元二次方程，由只有一个交点知，解出平行线，则本题得解.

易知，

作直线交轴于，且与抛物线相切，

设，联立与抛物线解析式得：

，

整理得：，

由题意，，

解得：，

，

与的距离为，

即光线与拱桥之间的距离为米．