每日一练|数量关系真题练习第1期(手把手教你秒杀法)

四季读书网 2026-05-20 08:58:26 12 0

某图书馆为增加室内采光，在墙上新增一扇窗户（如下图所示）上半部分是个半圆，下半部分是个矩形。窗框用铝合金材料制作，材料总长度为27米（图中黑色线部分均为铝合金材料，铝合金宽度忽略不计，π取3）。那么该窗户的最大面积为：

A 12平方米 B 15.75平方米 C 16.25平方米 D 18平方米

「秒杀技巧」

这种二次函数求最值的题，有两个通用秒杀方法：

对于

最大值一定在

处，这是二次函数的基本性质，不用配方法，直接套公式。

本题

a=−4.5，b=18，所以

一步算出 r，再代入面积 S=-4.5×2×2+18×2=18。

把面积表达式整理一下：

这里 r+(4−r)=4 是定值，根据均值不等式，当 r=4−r时，r(4−r)最大，即 r=2，此时 S=4.5×2×2=18。

这道题的窗户，上半部分是半圆，下半部分是矩形，所有黑色线都是铝合金材料，总长度 27 米，π 取 3。我们的目标是求窗户的最大面积。

先设未知数：设半圆的半径为r米，那么：

半圆的直径（也就是矩形的长）就是2r米；

设矩形的高为h米。

先数清楚铝合金的总长度包含哪些部分：

上半部分：半圆的弧长 +2条从圆心到圆弧的斜线（半径）

半圆弧长：

题目中 π 取 3，所以弧长 =3r

两条半径：2r

左右两条竖边：2h

中间的竖线：h

上半部分的底边（也就是半圆的直径）：2r

把所有长度加起来，就是总长度 27 米：

总长度= 半圆弧长+ 2×半径+ 2×矩形竖边+中间竖线+ 矩形底边+半圆直径 27= 3r + 2r + 2h + h + 2r + 2r

27 = 9r + 3h

化简方程：两边同时除以 3，得

3r + h = 9 ，化简得：h = 9 - 3r

窗户面积 = 半圆面积 + 矩形面积

这是一个开口向下的二次函数，形式为

它的最大值出现在顶点处：

把 r=2代入 h=9−3r，得 h=9−3×2=3米。

再代入面积公式：

所以答案是 D 18 平方米。

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文章来源：四季读书网