广东工业大学第五届数学竞赛试卷

广东工业大学第五届数学竞赛试卷

（非数学类，2024年）

注意： 本试卷共六大题，满分 100 分，考试时间为 150 分钟。

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一、 填空题：（每小题 5 分，共 6 小题，合计 30 分）

1、 __________。

2、若函数  在  处取得最小值，则  __________。

3、设函数 ，求  __________。

4、设  由方程  所确定，其中  可微，且 ，则  __________。

5、（二选一）（1）设函数  是微分方程  满足条件  的解，则曲线  的渐近线为 __________。

（2）设 ，则  __________。

6、（二选一）（1）已知函数 ，则  __________。

（2）设常数 ，级数  收敛，而  发散，则  的取值范围 __________。

二、（14分）

已知平面区域 ，求 。

三、（共14分，每小题7分）

1、（7分）求函数  当  的渐近二次曲线，即求二次函数  使得 。

2、（7分）确定常数  和 ，使不定积分  所解结果中不含对数函数。

四、（14分）

设函数  在闭区间  上二阶可导，且满足 ，试证明：

（1）存在 ，使得 ；

（2）若对任意 ，则当  时，有 。

五、（14分）（任选一题，多选不得分）

1、（理工科）在直角坐标系中，球面  与直线  相切于点 ，与直线  相切于点 。

（1）求球面  的方程；

（2）设点  为球面  上的动点，过点  任作三条两两垂直的弦，记它们的长度分别为 ，求 。

2、（非理工类）设商品的需求函数 （ 为商品的价格），需求对价格的弹性 （），当  时，。若生产该商品的日总成本函数为 ，求该厂商日产量  为多少时，总利润最大。

六、（14分）（任选一题，多选不得分）

1、（理工科）设曲面  为 ，点 ， 为  在点  处的切平面， 为坐标原点到平面  的距离。

（1）求 ；

（2）又设  取上侧，求

。

2、（非理工类）已知可微函数  ，满足 :

且 。

（1）记 ，求 ；

（2）求  的表达式和极值。