本次内容为一份关于索伯列夫空间 Sobolev Spaces 的测试题及其解答. 我们简要介绍所出现的五道大题. 希望能够对读者理解索伯列夫空间与偏微分方程有所帮助. 
对于第一题而言, 题目主要涉及基本的泛函分析. 它的核心思想是区分“拓扑向量空间”与“完备的赋范空间”. 特别是测试函数空间和分布空间, 为了让求导操作总是连续的, 进而被赋予了非常苛刻的归纳极限拓扑, 这就导致它们牺牲了度量空间的完备性结构. 请注意具有紧支撑的无限可微空间及其对偶空间 (分布空间) 由于拓扑结构的特殊性, 不能用单一范数完备化, 因此被排除在外.
对于第二题而言, Sobolev空间中的函数本质上只是“弱可导”和“局部可积”的, 它们能在多大程度上等价于我们熟悉的连续函数？这就是 Sobolev 嵌入定理要回答的问题. 但嵌入定理的成立需要区域的边界不能太“病态”, 比如不能有无限尖锐的刺或向内凹陷的裂缝, 锥条件就是为了保证边界的常规性. 本题的积分不等式来源于“微积分基本定理”在高维空间的推广——带有积分余项的展开. 我们要知道一个点的值, 可以通过它周围锥体内的导数积分来反推.
想象拿着一个冰淇淋蛋筒在区域内部游走, 无论走到哪个点, 蛋筒都必须能完全放在区域内. 这就排除了极度狭窄的尖点. 接着利用球坐标系, 沿着锥体的射线做分部积分. 在将一维射线积分还原为高维体积积分时 Jacobian 行列式的反向作用自然产生了距离的负幂次 (奇异核) . 面对奇异积分, 只要导数的阶数和可积指数的乘积大于空间维数, 这个奇异核就是可积的, 从而保证了函数的连续性和有界性.
第三题是数学物理方程中最著名的例子之一: 三维空间中的 Newtonian 引力势. 在除原点外的任何地方, 它是调和函数. 但在原点处, 它有着无限大的质量或电荷密度. 物理上的点质量/点电荷模型在数学上的严格化直接催生了广义函数理论 . Dirac 发明的 Delta 函数就是为了描述这种在一点集中, 但总积分为常数的物理量. 解题时就用一个半径为 的小球把它包起来. 在外侧应用 Green 第二公式, 即散度定理的分部积分形式. 再让小球的半径趋于零, 计算边界上法向导数的通量. 由于球面积的缩小和梯度增大的速度正好抵消, 留下了一个非零常数, 这就推导出了结果. 对于 Delta 函数, 利用 Sobolev 空间的对偶性和嵌入定理 (必须嵌入到连续函数空间才能对点赋值) 就能算出它所需的阶数下限.
第四题表明了紧嵌入的失效. Rellich-Kondrachov 定理告诉我们，在有界区域内，高阶 Sobolev 空间到低阶空间的嵌入不仅是连续的，而且是紧的. 紧性在利用变分法求偏微分方程极值解时是非常重要的. 这道题探讨的是紧性在什么情况下会“翻车”.
紧性丢失的核心在现代偏微分方程研究中被归纳为“集中紧致原理” Concentration-Compactness Principle . 导致紧性丧失的两个罪魁祸首是：区域无界 (能量跑到无穷远处) 和 临界指数 (能量集中在一个点上) .
针对区域无界 拿一个标准隆起的函数, 不断把它往无穷远处平移. 这个序列的范数 (能量) 不变, 在局部看渐渐变成零 (弱收敛) , 但整体的范数没有变小, 所以不可能强收敛. 针对临界指数 拿一个函数, 保持其总能量不变, 不断地把它“捏瘦拔高”. 它的支撑集越来越小, 向原点集中. 同样它弱收敛于零, 但在特定的临界空间下范数守恒, 也不可能强收敛.
对于第五题而言 Sobolev 不等式揭示了“导数的可积性”可以提升“函数本身的可积性”. 但这其中有一个理论上的上限, 也就是最大的可积指数到底是多少. 事实上, 如果一个关于空间的普适物理定律或数学不等式是正确的, 那么不管用米作单位还是用毫米作单位, 即对空间坐标进行伸缩变换, 这个关系式都必须保持成立, 不能因为尺度的放大或缩小而改变. 先定义一个新的缩放函数去代入不等式. 计算缩放后, 左边的范数会提出一个缩放因子的 次方, 右边会提出一个 次方. 如果 和 不相等, 那么我们可以通过让缩放因子趋于无穷大或者趋于零, 使得不等式一边无穷大而另一边趋于零, 这显然会破坏原不等式. 因此必然有 . 解这个代数方程, 就能严格推导出临界指数 的唯一形式.
下面是所有试题和下载链接. Sobolev Spaces.pdf
