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编者按：本系列预计每周发布1期中考数学压轴题的解析与点评。内容以服务长沙地区的考生为主，其他地区也可参考。题目选择按真题优先、长沙和其他教育发达省份题目优先、时间靠近优先的原则选取。
每题具体展开内容包括详细解析、思路分析和试题点评三个模块。再配合视频讲解，透过题目全方位挖掘解题需要掌握的知识、方法、思路和数学思想的各层次内容。切记做题不是目的，掌握做题的能力才是真正的目标。
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往期回顾
长沙.2020.24
原题：
图1 中考数学-长沙-2020-压轴24题
详细解析：
视频1 中考数学-长沙-2020-压轴24题解析
图2 中考数学-长沙-2020-压轴24题解析
思路分析：
1. XX对称点对和函数的开山定义就来自于此，2021+2025完美复刻，但毕竟第一次出现，再多变式的难度也不及第一次遇到的挑战。理解题意后推荐直接按几何意义理解解题，小题不可大作。
2. 考察多元方程组的等价变形，结合不等式。这里先判断3个变量2个方程，得到最简单的形式消元到只有1个变量后带入不等式条件，加上一点点分母含有变量的不等式化简考察。可按函数单调性，分类讨论，或者干脆化为分式不等式求解（这是高中的玩法了），都能解决。最后再把这个范围等效作用在其他伴随变量上即为所求。
3. 第1问的判断勉强还能直接对称取得，这里二次函数要几何直观又有点难了，那就回到代数方法转化为方程有解，得到x和y要存在。消元以后转为x的二次方程存在解即可，y是一次关系自然有解。这里得到第一个不等式，直接判断平方项为正或者dirta为正等价（注意x不能为0的细节）。接着再用等式关系消去c后，题设的不等关系也变成了2元的齐次2次不等式，可以解出比值的范围。联合后就是整个比值的范围。
刚刚好，求解目标的弦长平方也是个上下齐次的分式，可以转为这个比值的二次函数（最差也至少能转为一元分式），这才转化为一个常规的二次函数求最值问题。真可谓醉翁之意不在酒，说是考察二次函数的各种基本公式，但最后你到达考点之前，已经耗尽了你所有的智慧了。
试题点评：
看到2020年的题可以明显感觉到题目难度的分水岭。因为2021开始等级制变总分制，要求及格率抬升，拒绝了奥数题考查；2020年和以前，还存在填空选择的小压轴的说法，甚至23题开始就上强度了。压轴题部分虽然考察得更原始，很多内容后续考得更难了。但是当它们首次出现的时候，显然还是比有章可循的后续年份更具挑战性。而2021是难度最低的一年过渡以后，除了取消23题的难度和小压轴以外，后续年份难度又逐年回暖，保持稳步提升直到目前。而2025的难度也明显提高，因此从趋势上讲，并不排除2026依旧保持甚至难度再拔高。所以这样看来再往前的难题也是值得一做，甚至是一些其他省份题和奥数知识，以见多识广，不变应万变。
回到题目。这题题干可以算作后续各类新定义的鼻祖了，第1问更是几乎被长沙2025.24照抄，有种做模拟题的感觉。2考察的是函数方程不等式的综合，要根据题目求解目标在等价变形的范围内倒换关系，按目标求出等价的唯一结果。3也是一样，背景是齐次2次2元的分式、方程和不等式的求解应用，从3元消元为2元，用比值关系为中间变量消元为1元，最后化为二次函数问题。尤其是是H函数的条件使用，需要按定义给出其有解的等价不等式约束，来自的是消元后转化的二次方程的有解条件。这种类似玩法在2024.25中就又出现了，不过二元二次方程组消元后都没有一次项，还算简单了。而2025.24的正统续作里虽然没有多个参数，是变量的有解，但还是出现了一次项要求dirta来判断解存在的条件。
大胆预测一下，要再复杂点的方向之一就是搞2-3个参数的二次方程，含一次项，去求dirta来保证参数的存在性来玩了。以及，这个对称完全可以沿着非原点和x，y轴进行，自由起来以后，基本就是高中难度的思想下放，但也并不能说超纲呀。
长沙.2020.25
原题：
图3 中考数学-长沙-2020-压轴25题
详细解析：
视频2 中考数学-长沙-2020-压轴25题解析
图4 中考数学-长沙-2020-压轴25题解析
思路分析：
1. 垂径定理经典考察，60度角直角三角形经典形状。
2. 难度上得猝不及防，但好在还算有章可循。这里有很明显的两条弦的中垂线存在，因此有ODCE的共圆。要非常敏感地判断出所谓外心其实就是这个四点共圆圆心，而它的直径在垂直的圆周角上也是给定的。因此得到固定的半个半径的长度2，轨迹自然就是圆弧了。难点考察完了，最后用一下弧长公式的考点即为所求了。
3. 要做出本题，需要对图形的大小形状和动静进行分析，圆确定AB确定，因此就C一个动点，决定DE。而这里S1和S2的关系本就会受到一些约束，即S1确定的话代表定长的DE确定，那高也确定了。故C只能是在左右对称的两个固定位置之一，S2自然也确定了。而结合题设另外给的S1和S2的关系，注意这里并不是齐次的，因此给不出二者的比值关系，无法直接得出C到DE和DE到O的平行线之间的距离比。有点类似2022.24中确定两条边可求时，就可以尝试放弃直接求目标值转而把更细粒度的值解出来再求的思路。
这里从图形获取S关系的过程有一点难，比2022.24典型的四边形对角线比的经典问题难多了。不过思想方法还是有的，那就是同一法，而且要敢于去表达非直接的变量。即，S1+S2，可以看作是OACB的面积，而它也可以看作是固定的△OAB和下面S2面积的4被的和。这样就能求解整个S1和S2，进而公共底边下的C和O到DE的面积比就搞定了。
而C到AB和DE的比是中位线的1:2，因此O，AB，DE，C的距离比全都是确定的，加上O到AB的距离2确定，这些距离也都确定。这些含距离的直角三角形加上一个角度，就能把斜边和线段上的长度算出来了。
题设求AC，自然地放到直角三角形中，而其竖直距离显然可求；水平距离则仍然在这个比例下是半径减去两个相似三角形水平距离的和，用给定的斜边和的半径，加上勾股定理，在原相似比的联系下，自然就也能搞定了。
试题点评：
按网上点评的2020和以前的中考压轴题，堪称地狱难度，这回总算是见识了。其难点在于，第2问藏在普通定理背后的不太熟悉的题设表达形式：轨迹形式的结论不熟悉，三角形的外接圆和加上一点四点共圆的圆是同一个确定的圆，再加上直径转为半径旋转，这确实需要超脱一般刷题套路的想象力。第3问抛开常规的面积比关系需要直接求解，用同一法获取了S的另一组关系式，哪怕知道有关系，学过同一法，要搞定它也绝不容易的，没有一点加加减减的代换灵性很容易就走到建系的死路上去了。最后的长度还有两关要过，其一是判断清楚了4条平行线或点距离比搞定下，其中一个距离值的垂径长（还有半径长度尺寸条件）能把所有对应比例的边表示出来。除了一定的计算量和目标规划能力的要求以外，C由对称性是有CA和CB两组解需要算的，这便是此题最后1分的细节分的由来。
虽然这玩意难度不及真正的竞赛，但竞赛生来了要是不经过特异性训练纯裸考，没有摸清相应套路和玩法层级，也够喝一壶的。而为了选拔人才和反刷题设置的选拔考试题，这题目还真是出得有一定水平的。
再往前的题目虽然年度久远，直接表层结构的相似参考性不大，但作为思维能力考查和提升，还是值得借鉴的。尤其是其难度足够，更能暴露对数学结构理解的水平，下期继续！
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