中考几何压轴拆解:正方形+动点+等边三角形,是几何“全能训练场”

四季读书网 2026-04-27 16:18:27 1 0

正方形ABCD边长为4，点E、F是AB，BC边上的动点，且AE=BF，连接EF，过点F作FG⊥EF交CD于点G，连接EG.

（1）猜想三角形EFG的形状并证明;

猜想：三角形EFG的形状是等腰直角三角形.

这里有一线三直角，还有一组边相等可得两个三角形全等得EF=FG.

（2）取FG中点O，连接AO，求AO的长;

连接AC，交EG于点O'，由平行+相等线段得全等，O'是EG中点，这O'与EG的中点O重合，即O是AC中点，AD=4√2，AO=2√2.

（3）用含m的代数值表示三角形FGC的面积;

根据中点设出变量，可以用x的代数式表示三角形FGC的面积,再找出m和x的关系即可.

三角形FGC的面积=x(4-x)/2=（4x-x²）/2

抓住三角形FGC，运用勾股定理

或抓住三角形EHG用勾股定理得x²-4x=（m²-32）/4

所以三角形FGC的面积=-（m²-32）/8=(32-m²)/8；

（4）在EG上方作等边三角形EMG，ME、MG分别交AD边于点P、Q，且点M始终处在两条平行直线AB，CD之间的区域内.求m的求值范围；

由平行之间的距离是两条平行线上两点之间距离的最小值，得m最小=4.

此时满足条件：M在两条平行直线AB，CD之间的区域内.

当m变成到对角线时，

此时不满足条件：M在两条平行直线AB，CD之间的区域内.

所以m的另一临界值M落在直线CD或直线AB上，由对称性，只需要研究一种即可.

在Rt三角形EGJ中，sin60°=4/m=√3/2

所以m=8√3/3

所以4≤m＜8√3/3

(5）三角形EMG在变化过程中，判断点M到AD的距离是否发生变化，并说明理由.

根据（2）中知道O是正方形对角线中点，到各边的距离相等为2，

所以OS=RH=2

如图两个三角形相似，相似比为1:√3

所以MH+2=2√3

所以MH=2√3-2为定值。

（6）用m的式子表示1/MP+1/MQ的值。

图中两对相似得PE/PM=x/(2√3-2）

DG/QM=（4-x）/(2√3-2）

两个等式两边同时+1得

（PE+PM）/PM=（2√3-2+x）/(2√3-2）

（DG+QM）/QM=（2√3-2+4-x）/(2√3-2）=（2√3-2+4-x）/(2√3-2）

上面两式再相加得m/PM+m/MQ=4√3/(2√3-2）=3+√3

所以1/PM+1/MQ=（3+√3）/m.

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