看见数学・原创真题解析:2025 新高考1对数题的多解法溯源

年份: 2025

卷区: 新高考1卷

题号: 8

题型: 选择题

知识点:

• 对数函数的运算性质
• 指数与对数的互化
• 不等式的性质（比较大小） 方法:
• 方法/特殊值法
• 方法/构造函数法 

描述: 本题是单选题的压轴题，考查多个对数等式下变量大小关系的判定。由于题目要求判断“不可能”的关系，采用特殊值法快速排除是最高效的策略，同时也考查了对数增长速度的直观理解。

📌 【题干】

若实数  满足 ，则  的大小关系不可能是（       ）

A.   B. C.   D. 

🔍 【思路分析】

1. 统一结构：设共同值为 ，将  分别表示为关于  的指数式。
2. 特殊值验证：通过选取不同的  值，观察  的相对大小关系。
• 选取使其中一个变量为  的  值，可以极大地简化计算。
3. 排除法：题目问的是“不可能”，只要某种关系在某个  下存在，即可排除该选项。

✍ 【详细解析】

解法一：特殊值法（赋值排除）

思路：通过选取特殊的等式常数，验证各选项的可能性。

1. 令等式结果为 2： 则 ；；。 此时 ，故 A 可能正确。
2. **令 **： 则等式结果为 。；。 此时 ，故 C 可能正确。
3. **令 **： 则等式结果为 。；。 此时 ，故 D 可能正确。结论：综上，只有 B 不可能。

解法二：数形结合法（指数函数模型）

思路：令 。

1. 转化函数：，，。
2. 图像分析：在同一坐标系下作出函数  的图象。
3. 观察交点：随着  的变化，纵坐标  的相对大小随之改变。通过图象分析可知， 这一顺序在任何  取值下均无法形成。
4. 详见下图

解法三：线性化+数形结合

思路：利用换底公式将问题转化为一次函数模型。

1. 线性化处理：。
2. 构造直线：考虑三个一次函数 ，，。
3. 斜率比较：由于 ，在同一坐标系下作草图即可锁定排除项。
4. 见下图：
   

💡 【考点归纳与反思】

1. 解题策略：对于这种“大小关系可能性”的问题，特殊值法是首选。通过设定共同常数 ，可以直观地看到随着  的变化，底数大的幂函数增长得更快，从而改变大小顺序。
2. 对数本质：本题考查的是不同底数的对数函数增长速率的差异。
3. 陷阱预防：注意题目问的是“不可能是”，不要看到一个符合的就直接选。

🚀 【拓展延伸】