如何构造独立事件?(改编自概率论期中考)

北京某大学的概率论课程今天期中考，里面大约有 25% 左右的题目考察了独立性，可以看出独立性在概率论里的重要地位。首先回顾一下，事件  相互独立的定义是

为了避免被扣助教工资，我是不会外传期中考的原题的。不过我用其中的某个题目，改编了一道高中生可以做的题。

题目 设古典概型的样本空间 ，事件 ，且 ，。

（1）当  时，构造相互独立的事件  。

（2）证明：存在相互独立的事件  的充要条件是  是合数。

解答 （1）构造的方法很多，比如说：

• ，；
• ，；
• ，。

在上面的几个例子中，都有 ，，且

所以事件  相互独立。

（2）（i）如果  是合数，设 ，考虑如下的集合：

• ；
• 。

则 ，，同时 ，因此

所以事件  相互独立。当然，构造的方法不是唯一的。

（ii）如果  是质数，设 ，，，要使事件  相互独立，需要

因此 。由  是质数知  中至少有一个是 ，不妨设 ，此时 ，与题目条件矛盾。

综上所述，存在相互独立的事件  的充要条件是  是合数。