第十七届全国大学生数学竞赛(非数学A类)决赛试题

数竞之捷

第十七届全国大学生数学竞赛(非数学A类)决赛

第一题（本题 30 分，每小题 6 分）

1. 函数  有 ______ 个第二类间断点（填阿拉伯数字）。

2. 极限  ______。

3. 设函数  由方程  确定，则  ______。

4. 设  为平面曲线 ，方向为  增加的方向。曲线积分  ______。

5. 积分  ______。

第二题（本题 10 分）

设函数 。

1. 求  的最小值；
2. 求曲线  在点  处的法线方程。

第三题（本题 12 分）

设  为  上恒正的连续函数， 为有限实数，且 ，。证明：微分方程  的任一正解  满足 。

第四题（本题 10 分）

求曲面积分 ，其中  是柱面  夹在两平面  之间的部分，方向取外侧。

第五题（本题 14 分）

已知曲面  所围成的区域被曲面  分成上下两部分，计算上下两部分区域的体积之比。

第六题（本题 12 分）

考虑在  上定义的无穷次可导函数 ， 表示  的  阶导数，约定 。若存在实数 

(i) ；

(ii) 当  时， 在  上无零点；

(iii)  在  上无零点，

则称  的零点指标为 。若  本身无正零点，则称其零点指标为 。

1. 给定实数 ，证明：若 ，则对于任意的不全为零的实数 ，函数  的零点指标不超过 ；
2. 给定实数 ，证明：若  且 ，则对于任意的不全为零的实数 ，函数  的零点指标不超过 。

第七题（本题 12 分）

设 ，数列  由如下递推式定义：，其中 ， 收敛。

1. 证明： 收敛；
2. 求 。