工夫在数外
编者按：本文原标题为《工夫在数外》，良有以也。伊藤清在他的文集《世界是概率的》中，提到一个看起来较为极端的例子。他说他小时候放风筝，体验到了做风筝，放风筝的过程。知道了如何是风筝高飞。这给他养成了思考为什么的习惯。而现在的小朋友，生活在一个较难以理解这个世界的环境。如遥控器看电视，拿起来就遥控，很少去想背后的道理。
作者萧文强的书籍在大陆出版不多见。可以参考下书
南宋诗人陆游写了一首诗（《示子遹》）：
但欲工藻绘；
中年始少悟，
渐若窥宏大。
怪奇亦间出，
如石漱湍濑。
数仞李杜墙，
常恨欠领会。
元白才倚门，
温李真自郐。
正令笔扛鼎，
亦未造三昧。
诗为六艺一，
岂用资狡狯？
汝果欲学诗，
工夫在诗外。
读了这首诗，我联想到自己学习数学的经过，竟起了共鸣，甘冒东施效颦之险，把结尾一句改成“汝果欲学数，工夫在数外”。
陆游的“工夫在诗外”包含了四点：
不要只顾专注文采工夫，单求诗文华茂； 更要注意思想境界，诗文才有内涵； 也要丰富生活阅历，诗文才有活力； 还要注意品德修养，诗文才有风骨。
“工夫在数外”亦包含了四点：
不要只顾专注数学形式工夫； 更要注意数学思想方法； 也要丰富数学生活阅历； 还要注意数学工夫的品德修养。
第一项是“数内”工夫，其余三项是“数外”工夫。不是说前者不重要，但在“大众数学”的前提底下，后者更重要，却一向被忽略了。八成中学毕业生日后不需要使用很多数学，只有二成中学毕业生可以说是“数学使用者”，但不论对何者而言，通过学习数学得来的“数外”工夫却是同样重要。这种工夫需要时日浸淫，可惜大部分学生被过量的“数内”工夫吓怕了，早自高小阶段便对数学科既厌且惧，平白失掉这个充实自己、培育成长的大好机会。
先谈第一项，“文采”绝非贬词，不妥当的只是过分专注文采，或者未达领会文采阶段却硬取其外表的作法吧。就以六朝骈文为例，为了讲究对仗工整、声律铿锵、辞藻华丽，……
第二项的数学思想方法，大家都知道是指什么，但第三项的数学生活阅历是指什么呢？我以为可以分为三方面：
纵是追溯数学概念和理论的来龙去脉， 横是探讨数学文化的本质和意义， 广是认识数学的应用及经常联系数学与日常生活碰见的现象。
最后一项提到数学工夫的品德修养，也许应该多说一两句，以下让我们谈谈。
数学学习中，除了思考外还应注意读、讲、写。培根（Francis Bacon）说过：“读书使人渊博，谈论使人机智，写作使人准确。”一般教育如是，数学教育何独于外？数学提供了培养所谓“核心技能”的上佳园地，这包括语文能力。语文能力薄弱，很大程度上与思想贫乏及思路不清有关。学好了数学，有助于学好语文。其实，注意读、讲、写这三项训练，涉及更深层（但不适宜以说教式口吻明示）的品德培育。
每当我改作业，尤其评阅试卷的时候，我不时感到难过；并非是学生答错了或者不懂得作答，而是他们作答的方式和作风叫我难过。不晓得是否受到自中学以来考试方式的影响，很多学生学习惯了想到什么便写什么，下笔前毫不组织答案，既不管写下来的跟题目有关与否，亦不管逻辑上前后次序颠倒与否，反正改卷的人会按照评分标准的要点打分数，只要答案中出现该要点便有机会获分数了！这样东拉一句西扯一句，不要说是否合乎推理逻辑了，有时连文意连贯也谈不上！等而下者开首先抄下题目所给的假设，结尾抄下题目要证明的结论，中间胡乱写一些有关无关的东西，然后“神来一笔”，用一句“由此而得……”便把首尾连接起来！这种心存侥幸意图混过的不老实作风，比起不懂如何作答更叫我失望。
当代数学名家外尔（André Weil）说：“严谨之于数学家犹如道德之于一般人。”明代学者徐光启译西方古典数学名著《欧几里得原本》时说：“下学工夫，有理有事。此书为益，能令学理者祛其浮气，练其精心；学事者资其定法，发其巧思。故举世无一人不当学。”这种学术真诚心正好在学习过程中潜移默化。还有那种解难的韧力，也可以在学习数学中培育。现今很多学生习惯了应试技巧，一看题目不能马上套用现成方法便放弃。在考试时因为时间紧迫这样做情有可原，但后遗症却是他们把这种“即食”心态带到平日的学习中去，由此丧失了好奇心，养成思想懒惰。要是不愿思想，其基础也。
① 1995年12月23日香港数学教育学会成立，在成立典礼上我应邀作讲演，以“工夫在数外”为题。本文是从讲稿摘录出来，曾刊于《数学教育》（EduMath）第二期（1996年6月），15页，也曾刊于黄毅英编，《迎接新世纪，重新检视香港数学教育——萧文强教授来华文集》，香港数学教育学会，2005年6月，53-54页。
