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编者按：本系列预计每周发布1期中考数学压轴题的解析与点评。内容以服务长沙地区的考生为主，其他地区也可参考。题目选择按真题优先、长沙和其他教育发达省份题目优先、时间靠近优先的原则选取。
每题具体展开内容包括详细解析、思路分析和试题点评三个模块。再配合视频讲解，透过题目全方位挖掘解题需要掌握的知识、方法、思路和数学思想的各层次内容。切记做题不是目的，掌握做题的能力才是真正的目标。
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往期回顾
长沙.2023.24
原题：
图1 中考数学-长沙-2023-压轴24题
详细解析：
视频1 中考数学-长沙-2023-压轴24题解析
图2 中考数学-长沙-2023-压轴24题解析
思路分析：
1. 强行考察勾股定理逆定理得AB为直径，经过互余角的计算很容易得∠DBA为直角，接着就是切线的定义：一点在圆上，且与过切点的半径垂直，按定义写完即可.这里考得比2025.25容易些，那里不知道有没有交点，只能直接用直线到圆心距离的半径的方法证明。而这里的图形用更直接的等价条件表述就是一个射影三角形加上一个小直角三角形的以一条直角边为圆心的外接圆，自然另一条直角边为切线。另外EF的垂线则生成了BNEA的直角筝形形状，有大量直角三角形、相似和四点共圆条件可用；
2. 图形中获取S = S1 + S2的信息可消元，接着给的方程是齐2次2元的，可以除以其中一个变量的2次化为其比值的一元二次方程求解；而tanD处在有斜边上高的直角三角形中，可以得出两组比值，都用上后发现刚好就是S2 / S1 = CA / CD，即为所求；
3. 根据BNEA的直角筝形结构特点，FE * FN，在相似△BNF和△EAF上，可转化为BF * FA；BC * BN和AE * AC分别是CNAF和BCEF的四点共圆圆上的割线积，都可以转化到AFB上，经过计算后即可得到y = x；注意x的范围，尤其是0不能取到的细节条件；
试题点评：
本题难度不大，且透露着很强的中考特色，即哪怕是带着思维能力梯度划分的压轴题，也处处是对知识层面尽量广泛全面又基础的考察，辅之以一丁点常见方法和有思维难度的内容，点到为止。
本题主体的几何模型为射影三角形和扩展的直角三角形斜边上任意垂线得到的直角筝形结构。圆只作为辅助内容在第1和3问中以考知识点的形式出现，剩余的都是围绕这两组直角三角形内的3和4组相似三角形的相似比转化，以及后者的四点共圆下的割线定理也可以辅助找到思路。
第1问纯考定义，仅有最简单的互余角计算，但图形实际等价为射影三角形结构的先行判断要走在前面引导方向才能快速解决。第2问中除了面积的图中关系式获取外，还包括面积比尽量找同高或底后变成边的比，以及方程为齐2次2元时可以化为一元二次方程求比值的式子结构和解法的考察。tanD ^ 2的求解目标也是在暗示需要采用多个不同的等角或三角形来表达它的可能性。在式子转化时，一定要随时观察和条件和结论有没有朝着更近的方向前进，既不要害怕尝试计算也不能盲目计算，这样最后条件和答案两侧才能高效会师，解决问题。第3问又是经典的在几何图形中求函数表达式的题，其中FM的M除了在圆上毫无条件关联，还好有其隐藏的作为直径直角三角形的斜边上高的性质，迅速可转化到BAF上。而其他几个乘积的式子，能转化的方法一般就只能看作两个相似三角形上分别两条非对应边，化为确定对应的另外两条非对应边的乘积。如果完全不熟悉这个直角筝行结构中的相似关系和乘积在相似边比中出现的逻辑位置特征的话，确实就不好找转化关系或容易出错。但但凡熟悉一二或敢于尝试，就会发现所有的条件都能指向BAF，进而在其上没有引入过多变量条件下的运算后，自然消元后得到最终结果。最后x的范围则是对体力、耐心和毅力的考察，虽然非常反人性，但确实也能作为合格人才的筛选器，非常恰当地存在。
长沙.2023.25
原题：
图3 中考数学-长沙-2023-压轴25题
详细解析：
视频2 中考数学-长沙-2023-压轴25题解析
图4 中考数学-长沙-2023-压轴25题解析
思路分析：
1. 和2025.23遥相呼应，形似但细节区别还不小。首先继续是非负数和为0的等式条件转化，之前是两个点坐标的化简，这里是用一个二次函数的参数消元生成另一个。另外注意隐藏的b1 != 0的条件。
本问就是对题意的理解而已，深层次需要的是对函数这样的东西的结构和参数意义有准确的理解。
2.1. 接着考数形结合。运动的点也是函数上的点，PQ有公共相等的y值则是水平直线，和二次函数一样是有竖直对称轴的，因此可以直接写出对称的等价表达，否则直接带入方程代数消元也是能解的。只不过这里动点和函数共用了相同的参数是隐藏又奇怪的信息。
2.2. 函数过定点的理解：对于函数这个对象，给定结构以后，其参数值是其确定具体哪个对象的变动要素，即参数到函数对象的对应关系（泛函）。那定点的意思是，对任意的参数变化，存在x，使得y的值不变。即找到那样的x，是的参数不影响式子的计算结果进而影响到y。那自然参数r才是关心的变量，关于它的一次多项式要求系数为0即为所求，此时取得x的解和对应y值即为所求。
3. 依照题意写出y2，A，B坐标，CD和EF的长度，这些都是题意理解，二次函数定点坐标公式、对应方程根的距离公式的基本考察。其难点在于，要讨论的四边形没有给字母顺序，因此存在对其到底谁和谁相邻的3种情形的讨论；接着就要借助几何直观来提前判断和减少代数计算了：直观看显然应该是个转45度摆放的正方形，但要证明的话，还需要根据对称性排除掉CA或AD是对角线（CD是边）的可能才可以。接着就是把题设中的所有条件列上，注意CD = EF的条件其实是冗余不需要的，但也要验证不矛盾才能说明正方形真的存在。解的时候从形式上找最方便化简的式子先下手，用其消元条件去击破稍微复杂的式子，这是解复杂方程组的一般思路。最后消去c以后，得到4a ^ 2 + b ^ 2 = 4。这里注意，凡是式子含有平方项，要让式子中的值都有存在实数结果，其范围都等价要求dirta为非负（或者等价地配方得平方项非负），由此得到a ^ 2的范围。而最开始有等价条件b != 0，故还不能是两等根0，dirta要为正，因此0 < a ^ 2 < 1。最后面积是a ^ 2的反比例函数，要么根据单调性数形结合解决，要么就用不等式的性质转化，每一步转化都要有根据，切勿杂糅。
试题点评：
本题和2025.24的考察形式（新定义），2024.25的考点（二次函数定点坐标，对称性，两根之差的公式，非负数和是2025.24考的）高度重合。其定义的复杂度偏低，解题的分类讨论稍简单些。而解方程的难度也稍容易，对式子的直观和本质处理能力要求也低了些。因此从趋势上看，考题确实是逐年变难的，但考察内容仍然有章可循。
思路和思想方面，仍然是函数观点看待方程、数形结合、分类讨论和化归。这4个核心数学思想方法几乎是贯穿了近3年每一年的考题背后的秘密。可以说，如果说有什么东西是一定要重点复习，学会了就一定考得到的话，除了高频知识点和方法，这些数学思想方法的熟悉、敏感和掌握，才是几乎一定用得上的。只不过要领悟它们，浅层的刷题没用，真需要经过深度思考才可以。
其中2.1的齐2次2元方程刚在24题中考过又出现了，是重点方法。2.2的定点问题，非常考察学生对函数等对象的结构和参数的关系的抽象理解，以及一些高中一阶逻辑中才会有的量词结构进行了隐藏考察。只不过这里是通过有点靠经验模糊来理解的方式进行的，还没有形式化（2024.24.1.1也涉及了）。若不是学习深度深很多形成降维打击，就很吃解题经验和熟悉度了。3中结合了二次函数图像对称性和正方形的几何特征来进行分类讨论前的预判，非常漂亮。而最后关于用带参数二次方程的等式关系求范围的a ^ 2范围的求取则是2020.24也出现过的类似结果，只不过都是不需要再配方的裸的平方项，难度还是控制很严的。最后的反比例函数的单调性或不等式的等价变形，以及端点取值条件的小心使用，则为最后一关了。
有时候我在想，中高考还真就是一场中长期策略制定和执行力的总和比拼，和运动员备战百米赛跑是一样的，都需要科学规划。这些准备最后分解为有没有考场上的时间安排策略、适度的紧张发挥和拼搏的体力加意志力的考察。这些落实到平常的话，就要有相应的训练策略和执行来最终科学落实到位。而最微观层面的，其实才是具体的数学思想方法、思路、方法和知识。而到底如何统筹总目标，分配精力到各个学科、分配到哪些通用和专用能力的落实上，并随时收集反馈来调整计划，都是很吃经验的。对于很难有这些经验的孩子来说，好的教练（老师或家长）还真就至关重要了。比如，到底要不要超前大量学习或学习高阶知识，或提升熟练度，这还真是很需要卓越的判断力和优秀的项目管理能力才能打好这个大仗。
共勉。
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