（适合初中几何/中考复习，收藏备用，可直接打印给学生练习）
一、模型由来：种瓜得瓜，种圆得圆
瓜豆原理（主从联动模型），核心就是一句话：主动点轨迹是什么，从动点轨迹就是什么。
如果主动点在圆上运动，那么从动点的轨迹必然也是一个圆——这就是瓜豆模型中最常考的「圆生圆」题型。
牢记口诀，轻松识别：定点定角又定比，瓜在圆上豆也圆。
二、核心三要素（缺一不可，判定关键）
要判断是否为「圆生圆」，必须同时满足以下3个条件，少一个都不行：
（1）一定点：平面内固定不变的点（记为P，后续例题统一用此符号，方便记忆）；
（2）两动点：
主动点A：已知轨迹，且一定在某个定圆⊙O上（已知圆的半径r）；
从动点B：跟着主动点A运动，我们需要求它的轨迹；
（3）两定值：
定角：∠APB = α（固定不变的角度，不会随A、B的运动而改变）；
定比：PA/PB = k（固定的比值，即主动点到定点的距离，与从动点到定点的距离比值不变，本质是相似比）。
核心本质：「旋转+相似」的组合——把主动点、主动圆的圆心，绕定点P旋转定角α、按定比k缩放，就能得到从动点的轨迹圆（圆心和半径都随之变化）。
三、圆生圆·三步找轨迹（万能模板，直接套用）
无论题目怎么变，只要满足核心三要素，按这3步走，就能快速找到从动点的轨迹圆，不会出错！
第一步：定主动点轨迹（找“瓜”的位置）
先明确主动点A所在的定圆：找到这个圆的圆心O和半径r（题目通常会直接给出，或间接暗示）。
第二步：找从动圆圆心O'（定“豆”的圆心）
将主动圆的圆心O，绕定点P，做两个操作：① 旋转定角α；② 按定比k缩放（放大或缩小），得到的新点O'，就是从动点B的轨迹圆圆心。
（简单记：圆心跟着转，跟着缩/放）
第三步：算从动圆半径R（定“豆”的大小）
从动圆的半径R，与主动圆的半径r、定比k的关系的是：R = k · r（半径比 = 定比k）。
特殊情况（中考常考）：
1. 定角α=0°（共线缩放，比如B是OA的中点）→ 两个圆同心（圆心相同）；
2. 定比k=1（旋转全等，比如PA=PB，∠APB为固定角）→ 两个圆半径相等（全等圆，上图即是）。
四、经典例题（中考常考，附详细解析）
结合例题掌握方法，比单纯记理论更高效，以下2道题，覆盖基础和压轴，建议让学生动手练一练！
例题1：中点型（最基础，必掌握）
已知：定点P，主动点A在⊙O（半径为4）上运动，B是PA的中点。求从动点B的轨迹。
解析步骤：
找三要素：定点P；主动点A（⊙O，r=4）；从动点B；定角α=0°（OA与OB共线）；定比PA/PB=2（B是中点，PB=1/2 PA）；
定主动圆：圆心O，半径r=4；
找从动圆圆心：将PO绕P旋转0°（位置不变），按定比1/2缩，所以从动圆圆心是PO的中点O'；
算从动圆半径：r'= 4 × 1/2 = 2；
结论：从动点B在以O'为圆心、半径为2的圆上。
例题2：旋转型（中考压轴常考）
已知：定点P，∠APB=60°，PA/PB=2；主动点A在⊙O（半径为3）上运动。求从动点B的轨迹及PB的最大值。
解析步骤：
找三要素：定点P；主动点A（⊙O，r=3）；从动点B；定角α=60°；定比k=2（PA/PB=2 → PB/PA=1/2，缩放比取1/2）；
定主动圆：圆心O，半径r=3；
找从动圆圆心：将圆心O绕定点P旋转60°，再按定比1/2缩放，得到新圆心O'（从动圆圆心）；
算从动圆半径：R = 3 × 1/2 = 1.5；
求最值（中考高频考点）：利用“点圆最值”（点到圆上点的距离，最大值=圆心距+半径，最小值=|圆心距-半径|），即：
PB最大值 = PO' + 1.5；
PB最小值 = |PO' - 1.5|。
五、解题四步法（中考实战，直接套用）
遇到「圆生圆」题型，不用慌，按这4步，快速破题：
识模型：先找定点、主动点、从动点，验证是否满足“定角+定比”（缺一不可）；
定轨迹：确定主动点所在的定圆，找到其圆心O和半径r；
求从动圆：将主动圆圆心O，绕定点旋转定角、缩放定比，得到从动圆圆心O'，再计算半径R=k·r；
算最值：若题目求最值，直接用“点圆最值”公式（圆心距±半径）计算即可。
六、易错提醒&避坑指南（必看！）
很多同学容易在细节上出错，导致丢分，这3个易错点一定要记牢：
必须同时满足「定角+定比」，缺一不可；如果只有定比、角度变化，或只有定角、比值变化，都不是瓜豆模型的「圆生圆」；
主动点轨迹是完整的圆，从动点轨迹就是完整的圆；若主动点轨迹是圆弧，从动点轨迹就是对应的圆弧（范围同步缩小/放大）；
旋转方向不影响结果：将圆心绕定点顺时针旋转，或逆时针旋转，只会改变从动圆圆心的位置，不会改变半径大小，也不影响最值计算。
一句话总结：圆生圆，核心就是「旋转相似找圆心，定比缩放定半径」，掌握这一点，中考几何动点最值题，直接秒出答案！
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声明：本文为原创整理，结合中考考点拆解瓜豆模型「圆生圆」知识点，仅供学习交流使用，转载请注明出处，感谢理解与支持❤️
