1 高一期中复习
还有一周要期中考试了，计划更完四校去年的期中卷子解析，发在群里.
我给学生准备了去年四校期中考真题与精品解析，挂在28届数叶加油站.
群内可答疑，大考前不定的掉落重要资源——名校真题、试题解析、线上讲解
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下周挑个时间，把里面的一些重要习题给学生们讲一遍
2 超标准训练卷
这张卷子非常标准，如果月考没有考好，说明三角函数图像这块的知识点有缺漏，可以通过本卷查漏补缺.
此外，据我观察，很多学生三角函数图像的题目做不好，归根结底是因为根本不会用单位圆去解决问题，这一块可以特别关注一下本卷的T5、T6、T7、T12、T20.
祝顺利！
3 全卷精析
T1 弧度制
小时内秒针转过了 .（用弧度制表示）
❝答案:.
我认为这个题如果填写成也不扣分，没意义.
T2 二倍角公式&诱导公式
已知 ，则 .
❝答案:.
解析
T3 三角函数图像
已知函数 的图像的一部分如下图所示，则函数 的初相位为 .
❝答案:.
解析
初相位为.
由图，振幅为，，故.
最小正周期为，即有：
得
由，故.
T4 三角函数中心对称性
函数 的图像的对称中心的坐标是 .
❝答案:.
解析
对称中心处，，故：
故对称中心为：
T5 单位圆
已知函数 ，其中 ，若 在区间 上恰有 2 个零点，则 的取值范围是 .
❝答案:.
解析
当从变化至时，从变化至.
若 恰有两解，则两解为，故：
解得取值范围是.
T6 单位圆
已知函数 在区间 上是严格增函数，则 的取值范围是 .
❝答案:.
解析
当从变化至时，从变化至.
题目要求在上严格增，故：
解得取值范围是.
T7 单位圆
已知函数 ，若函数在区间内严格增，且函数的图像关于直线对称，则的值为.
❝答案:.
解析
当从变化至时，从变化至.
题目要求在上严格增，故：
故
又由图像关于直线 对称，故：
结合取值范围，得.
T8 设线
已知函数 ，若满足 （互不相等），则 的取值范围是 .
❝答案:.
解析
不妨 ，设，则：
可得，，.
故
取值范围是.
T9 三角函数图像
设函数 的图象与直线相交的连续的三个公共点从左到右依次记为，，，若，则正实数的值为.
❝答案:.
解析
作图易得.
T10 参变量问题
定义：余割 。已知 为正实数，且 对任意的实数 均成立，则 的取值范围为 .
❝答案:.
解析
显然，.
参变分离得：
其中，.
由相关函数性质，得取值范围是，即有取值范围是.
综上，取值范围是.
T11 三角函数图像
已知 ，顺次连接函数 与 的任意三个相邻的交点都构成一个等腰直角三角形，则 .
❝答案:.
解析
交点处有：
故.
取相邻三个交点.
代入得：
由等腰直角三角形，得：
T12 单位圆
集合
有 个真子集.
❝答案:.
解析
填空题直接将改成、进行尝试，找规律即可.
设.
将绘制在单位圆上，易得以下结论：
严格增
以为周期.
证明trivial，可以不说明.
故，有个真子集.
T13 和差角公式
的最大值为 ( ).
A.
B.
C.
D.
❝答案:A.
解析
故最大值为.
T14 三角函数图像
已知函数 ，则函数 的部分图象可以为 ( ).
❝答案:A.
解析
实战中直接计算器table打表.
易证是奇函数，排除B、D.
时，，故选A.
T15 解三角形
在 中，三个角 、、所对的边分别为 、、，下列四个条件中有几个是 为直角三角形的充分条件 ( ).
（1）;
（2）;
（3）;
（4）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
❝答案:B.
解析
（1）非充分，取正三角形即可.
（2）由和差化积公式，其等价于：
取，即有非充分性.
（3）等价于：
配齐次，等价于：
即等价于直角三角形.
（4）由正弦定理，等价于：
配齐次，得：
可推出直角三角形.
T16 三角函数图像
已知函数
给出下列结论：① 是周期函数 ;
②在区间 上是增函数 ;
③若 ，则 ;
④函数 在区间 上有且仅有 个零点.
则上述结论中正确的序号为( ).
A. ①
B. ①③
C. ①②③
D. ②③④
❝答案:B.
解析
对于①，是周期显然，正确.
对于②，，错误.
对于③，，最大值为.
故，正确.
对于④，基于有最小值为，故当时，有：
解得或.
T17 解三角形
记 的内角 所对的边分别为 ，且 .
（1）求 ；
（2）若 ，求 外接圆面积的最小值.
❝答案:（1）（2）.
解析
（1）由条件结合正弦定理，得：
由是内角，故.
（2）由余弦定理：
当且仅当时取等.
由正弦定理：
故面积最小值为，时取.
T18 参变量问题
幂函数 的图像关于 轴对称，且在区间 上是严格增函数.
（1）求 的表达式；
（2）对任意实数 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
❝答案:（1）（2）.
解析
（1）由题意：
结合，得，故.
（2）由题意，对于任意，有：
显然，在上减，故：
故取值范围是.
T19 解三角形
如图，游客从某旅游景区的景点 处下山至处有两种路径. 一种是从沿直线步行到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后再从沿直线步行到. 现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为. 在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留后，再从匀速步行到，假设缆车匀速直线运动的速度为，山路长为，经测量，.
（1）求索道 的长；
（2）问：乙出发多少 后，乙在缆车上与甲的距离最短？
（3）为使两位游客在 处互相等待的时间不超过 ，乙步行的速度应控制在什么范围内？
❝答案:（1）m（2）min（3）.
解析
（1）由题意：
相应地，有.
由正弦定理：
（2）设乙出发min后()，甲、乙两游客距离为米，此时甲行走了米，乙距离处米.由余弦定理：
当时，甲乙距离最短.
（3）由正弦定理：
从甲出发开始计时，甲所用总时间为min.
乙耽搁min，坐缆车的总用时为min，为保证等候时间不超过min，乙步行时间min，满足：
即有（单位：m/min）.
T20 单位圆
已知函数
（1）求函数 的最小正周期
（2）当 时，求函数 的最大值和最小值
（3）已知函数 ，若对任意的 ，当 时，恒成立，求实数 的取值范围
❝答案:（1）（2）最大值为，最小值为（3）.
解析
（1）由二倍角公司与辅助角公式：
最小正周期为.
（2）由，得
故最大值为，时取；最小值为，时取.
（3）对于任意，有：
构造函数
故本题即要求在上严格增，天然要求.
当从变化至时，从变化至，在上严格增.
无论如何变化，该区间的左右端点和为，这意味着是区间中点.
即有：
解得取值范围是.
T21 Lipschitz条件
已知函数 的定义域为 且满足：对任意的 ，有
恒成立，则称 为“LP”函数.（1）分别判断 和 是否为“LP”函数
（2）若函数 是“LP”函数，求：的取值范围
（3）若 为上的“LP”函数，且是以为周期的周期函数，证明：对任意的，都有：.
❝答案:（1）是，不是 （2）（3）见解析.
解析
直觉上，LP函数就是任意两点连线斜率不太大（小于2）的函数.
（1）不是，因为定义域不为.
是，理由如下.
对于任意，有：
（2）下证明的取值范围是.
对于任意
故是LP函数.
此时
取 ，则：
故不是LP函数.
（3）对于任意，存在整数，使得：
则有：
得证.
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The End
