一、二次函数的概念

一般地，形如y=ax²+bx+c(其中a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.其中，x是自变量，a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项。

二、二次函数解析式的确定

对未给定二次函数解析式,根据所给点坐标选择适当的表达方式

(1)顶点在原点,可设为y=ax²

(2)对称轴是y轴(或顶点在y轴上),可设为y=ax²+c;

(3)顶点在x轴上,可设为y=a(x-h)²;

(4)抛物线过原点,可设为y=ax²+bx.

四、二次函数的图象变换

1.二次函数的平移变换

总结：抛物线的平移规律左加右减自变量，上加下减常数项”

方法一:

(1)将抛物线解析式转化成顶点式y=a(x-h)²+k,其顶点坐标为(h,k);

(2)保持抛物线y=ax²的形状不变,将其顶点平移到(h,k)处,

方法二:

(1)将抛物线y=ax²+bx+c沿y轴向上(或向下)平移m(m>0)个单位,得抛物线y=ax²+bx+c+m(或y=ax²+bx+c-m);

(3)(2)将抛物线y=ax²+bx+c沿x轴向左(或向右)平移m(m>0)个单位,得抛物线y=a(x+m)²+b(x+m)+c(或y=a(x-m)²+b(x-m)+c)具体平移方法如下:

二次函数图象的翻折与旋转

五、二次函数的对称性问题

抛物线的对称性的应用，主要体现在：

1）求一个点关于对称轴对称的点的坐标；

2）已知抛物线上两个点关于对称轴对称，求其对称轴.

解题技巧：

1.抛物线上两点若关于直线，则这两点的纵坐标相同，横坐标与x=的差的绝对值相等；

2若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=对称；

3二次函数y=ax²+bx+c与y=ax²-bx+c的图象关于y轴对称；二次函数y=ax²+bx+c与y=-ax²-bx-c的图象于x轴对称.

六、二次函数与a，b，c之间的关系

七、二次函数与一元二次方程的关系

一元二次方程ax²＋bx＋c=0（a≠0）的解就是二次函数y=ax²＋bx＋c=0图象与x 轴交点的横坐标.

八、二次函数与不等式的关系（以a大于0为例）

九、用二次函数解决实际问题的一般步骤

1.审：仔细审题，理清题意；

2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数；

3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式；

4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题；

5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论.

方法技巧总结

1.利用二次函数解决面积最值：利用图形面积公式构造关于x的二次函数,利用二次函数图象的顶点坐标求出最值，注意解题时必须结合自变量的取值范围和函数的增减性确定最值

2.抛物线形问题：将实际问题转化为数学问题,建立函数模型,利用二次函数的性质解决问题

3.销售利润问题：根据“利润=(售价-进价)×销量列出函数解析式,利用二次函数的性质求最值

4.利用二次函数解决动点问题：首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算．

5.利用二次函数解决存在性问题：一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在．