一、平行线等积变换
图形示例 | 原理依据 |
| 如图：AD∥BC，则S△ABC= S△ABC ∴S△ABE+S△BCE = S△CDE+S△BCE 故S△ABE = S△CDE 【平行线等积变换】 |
二、三角形面积等分
类型一 | 类型二 |
过三角形顶点的直线平分该三角形的面积 | 过三角形边上一点(非顶点)的直线平分面积 |
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解决思路：如图，取BC的中点P，连接AP，则AP平分△ABC的面积. | 解决思路：如图，连接CD，过点A作AE∥CD交BC的延长线于点E，取BE的中点P，连接DP，则直线DP平分△ABC的面积. |
三、不规则四边形面积等分
类型一 | 类型二 |
过不规则四边形顶点的直线 平分该四边形的面积 | 过不规则四边形边上一点(非顶点)的直线 平分该四边形的面积 |
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解决思路：如图，连接AC，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，取BE的中点P，连接AP，则直线AP平分四边形ABCD的面积. | 解决思路：如图，连接EB，EC，过点A作AM∥EB交CB的延长线于点M，过点D作DN∥EC交BC的延长线于点N，取MN的中点P，连接EP，则直线EP即为所求. |
【例1】如图,△ABC三边的中线AD,BE,CF的公共点为G,且AG:GD=2:1,若S△ABC=12,则图中阴影部分的面积是.
【例2】问题探究
（1）请在图①中画出与△ABC面积相等的三个三角形：△ABC1、△ABC2、△ABC3，其中点C1、C2、C3为△ABC所在平面上异于点C的三个不同点；
（2）请在图②中射线BC上通过画图确定一点E，使得S△ABE=S四边形ABCD，并简要叙述画法和理由；
问题解决
（3）李大爷家有一块果园如图③中的四边形ABCD，由于修路，图中三角形CEF区域将被占用，现决定在DF的右侧补给他一块土地，要求补偿前后的总面积不变，已知∠A=135°，∠B=60°，∠D=105°，AB=350m，BE=（100+50
）m，CF=300m，DF=100m，若所补区域为三角形DFG，且点G在射线EF上，请求出符合条年的FG的长度．
【例3】
问题提出
(1)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，在BC上找一点D，使得AD将△ABC分成面积相等的两部分，作出线段AD，并求出AD的长度；
问题探究
(2)如图②，点A、B在直线a上，点M、N在直线b上，且a∥b，连接AN、BM交于点O，连接AM、BN，试判断△AOM与△BON的面积关系，并说明你的理由；
解决问题
(3)如图③，刘老伯有一块筝形OACB的养鸡场，在平面直角坐标系中，O(0，0)、A(4，0)、B(0，4)、C(6，6)，是否在边AC上存在一点P，使得过B、P两点修一道笔直的墙(墙的宽度不计)，将这块养鸡场分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线BP的表达式；若不存在，请说明理由．
【例4】
问题提出
（1)请在图①中过点A作一条直线，使该直线将△ABC分成面积相等的两部分；
问题探究
（2）如图②，在四边形ABCD中，AD//BC，∠C=60°，AD=5，BC=CD=20，点M是CD边上一点，且DM=5，点N是BC边上一点.若MN平分四边形ABCD的面积，求BN的长；
问题解决
（3)如图③，某城市建设单位有一块四边形ABCD的空地，该单位打算将此地改造为休闲场所，
根据规划要求，AD//BC，AD=CD=20米，AB=
米，∠C=60°，E为CD的中点，现要在AB上找一点F，修建一条观光路EF，使EF平分四边形ABCD的面积，在BC上找一点G，修建观光路GF，GE，是否存在这样的点F，G，使得△EFG的周长最小？若存在，请求出BF的长及△EFG周长的最小值；若不存在，请说明理由，
