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26考前百题045 | 又一模考，考高中数学联赛原题
该篇素材选自近期考的金丽衢十二校2026年高三3月第二次联考第14题（原卷和官方标答可以在公众号后台发消息回复“26届模拟卷”获取）。该题竟然又是一道高联改编题（来自2019年全国高中数学联合竞赛一试(A卷)第10题）……
这届已经有不少模考卷压轴题都是改编自竞赛等，比如《1537期 青岛期中竟改编25高中联赛一试（教材中的取整函数 8点总结）》《26考前百题 016 | 南通10月一调解三角压轴竟考IMO原题，和差化积更好用！》《26考前百卷 062 | 名卷杭州一模压轴改编自22东京大学入学考》《26考前百题 024 | 反比例函数内接等腰直角三角形面积最值，看高联一试如何简化运算？ 》《26考前百题025 | 11题才是全卷压轴（又是改编高联竞赛题）》……
一、金丽衢二联改编19年高联一试题 二、19年全国高中数学联合竞赛一试原题 三、附1981-2025高中数学联赛整理
一、金丽衢二联改编19年高联一试题
【金丽衢十二校26届高三3月二联T14】（关注：Hi数学派）在平面直角坐标系 中,圆 （）与 轴交于点 ，若圆上恰有一点 满足到直线 的距离等于 ，则圆 的半径是 __________ .
解析：（能力强的可以略过即可，下面解析写的很详细，只是为了照顾更多关注小派的新同学）
易知点
由题，点 到直线 的距离等于它到点 的距离
故点 在以点 为焦点的抛物线上，其方程为
将 代入圆 的方程，得
展开并化简
（关注：Hi数学派）提取并分离参数
因为圆心在第一象限 且与 轴相切于 ，除切点外圆都在 轴上方，而切点 显然不在抛物线 上，所以交点的纵坐标必然满足
两边同除以 ，得到关于 的函数
题意转化为：方程
在 时恰有一个实数解。
设
根据均值不等式
两边平方，得
（关注：Hi数学派）从而
当且仅当 ，即 时，等号成立， 取得最小值 。
因为 在 时连续，且当 以及 时，
这意味着如果 ，方程 会有两个不同的正数解，这对应圆与抛物线有两个交点，与题设“恰有一点”矛盾。
只有当直线 与函数曲线恰好相切于最低点时，才具有唯一解。
综上所述，必须且只需 取 的最小值，即
二、19年全国高中数学联合竞赛一试原题
该题改编自2019年全国高中数学联合竞赛一试第10题，如下
三、附1981-2025高中数学联赛整理
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看来有必要整理一下往年全国高中数学联赛真题了！从1981到 2025 年，应该全了，需要的同学们可以在移步到《模考为何混进了这么多竞赛题！（1981-2025高中数学联赛整理）》下载，也可以在文末下载
注： 高中数学联赛在知识考察广度和深度上都要高于高考数学，二者主要区别如下。推荐高考党们在学有余力的情况下可以拓展看一下一试试题，二试就先放一放吧！
