温州市外国语学校2025学年九年级第一次模拟考
数学试卷2026.03
一、 选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 计算 的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】
2. 据报道，2026年“元旦”假期全国国内旅游出游合计 人次，数字 用科学记数法表示是（ ）
A. B. C. D.
【答案】
3. 某物体如图所示 ,其俯视图是 ( )
【答案】
4. 运算 的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】
【数侠培优解析】.
5. 在一个不透明的袋子里装有 个红球和 个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出 个球，则摸出的球为红球的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】
【数侠培优解析】.
6. 如图，在平面直角坐标系中， 与 是位似图形，位似中心为点 .若点 的对应点为 ，则点 的对应点 的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】
【数侠培优解析】 位似比:.
7. 在直角坐标系中，把点 先向右平移 个单位，再向上平移 个单位得到点 .若点 的横坐标和纵坐标相等，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】
【数侠培优解析】，，.
8. 能说明命题“若 ，则 ”是假命题的一组实数 的值可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】
【数侠培优解析】.
9. 在平面直角坐标系中，两点 在抛物线 上，则下列结论中正确的是（ ）A. 若 ，且 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，且 ，则 D. 若 ，则
【答案】
【数侠培优解析】 对称轴 .
A. 已知 ，则 ，即 与 的中点在对称轴右侧，由 知 比 距离对称轴更远， 开口向上，距离对称轴越远，函数值越大，所以 ，故 错；
B. 当 时， 在对称轴左侧， 随 的增大而减小，所以 ，故 错；
C. ，且 说明了 和 异号，当 时，，可得 ，因为 ，无法得出 ，故 错；
D. 当 时， 都在对称轴右侧， 随 的增大而增大，，故 正确.
第10题
如图，在菱形 中，对角线 相交于点 ，点 为 上一点，连结 ，将 沿 翻折得到 ， 交 于点 ，连结 .当四边形 为平行四边形时，若 ，则 的值为（ ）A. B. C. D.
【答案】
【数侠培优解析】，设 ，则 ，在 中，
又四边形 是平行四边形，，，故 ，，，所以四边形 是菱形，，
，
二、 填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分
11. 因式分解：.
【答案】
12. 若代数式 在实数范围内有意义，则实数 的取值范围是 .
【答案】
13. 不等式组 的解集为 .
【答案】
14. 如图，两条直线 分别经过正六边形 的顶点 ，且 ，当 时，则 .
【答案】
【数侠培优解析】 正六边形内角和：.每个内角：.，，所以 .
15. 如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 两点，点 的横坐标为 ，点 的横坐标为 ，当 时，则 的取值范围是 .
【答案】
第16题
如图，在平行四边形 中，点 分别是边 上的点.若 ，，，，则 的长为 .
【答案】
【数侠培优解析】 在 上找一点 ，使得 ，设 .，，由 ，知 ，，即 ①. 因 ，， 得 ，，， ， ②. 由①②得 ，（ 舍去），，. 过 作 于点 ，，由勾股定理得 ，. 在 中，
三、 解答题（本大题有8个小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （本题8分）计算：.
【答案】
【数侠培优解析】
18. （本题8分）解分式方程：.
【答案】
【数侠培优解析】解分式方程：， 等式两边同时乘 得：
解得
经检验， 是分式方程的解.
19. （本题8分）如图，在矩形 中， 为 延长线上一点， 为 的中点，以 为圆心， 长为半径的圆弧经过 与 的交点 ，连结 .
(1) 求证：.
(2) 若 ，，求 的长.
【答案】(1) 见解析 (2)
【数侠培优解析】(1) 在矩形 中，，因为 为 中点，所以 = .
(2) 因为 ，所以 . 在矩形 中，，
20. （本题8分）为了解落实“光盘行动”的情况，某校@教数匠兴趣小组同学调研了七、八年级部分班级某一天餐厨垃圾质量，从七、八年级中各随机抽取了10个班的餐厨垃圾质量的数据如下（单位：kg）：
七年级：八年级：
餐厨垃圾质量用 表示，共分为四个等级：
七、八年级抽取的班级餐厨垃圾质量数据统计表：
(1) 直接写出上述表中各字母的值：，，.
(2) 根据以上数据，你认为该校七、八年级“光盘行动”，哪个年级落实得更好，说明理由.
【答案】(1) (2) 见解析
【数侠培优解析】(2) 答案不唯一.
如：七年级各班落实“光盘行动”更好. 理由：①七年级各班餐厨垃圾质量的众数 低于八年级各班餐厨垃圾质量的众数 .
②七年级各班餐厨垃圾质量 等级的 高于八年级各班餐厨垃圾质量 等级的 .
如：八年级各班落实“光盘行动”更好. 理由：
①八年级各班餐厨垃圾质量的中位数 低于七年级各班餐厨垃圾质量的中位数 .
②八年级各班餐厨垃圾质量的方差 低于七年级各班餐厨垃圾质量的方差 .
21. （本题8分）如图，港口 位于岛 的北偏西 方向，灯塔 在岛 的正东方向，，一艘海轮 在岛 的正北方向，且 三点在一条直线上，.
(1) 求岛 与港口 之间的距离.
(2) 求 .（参考数据：，，）
【答案】(1) (2)
【数侠培优解析】(1) 过点 作 ，易证 ，则
因为 ，所以 . 因为 ，所以
(2) 因为 ，所以 ，所以 .
22. （本题10分）综合与实践
【探索发现】小温在探索“圆与相似三角形”相关知识时发现如下结论：如图1，在圆中，若弦与交于点，则有.
(1) 【猜想验证】请证明上述结论.
(2) 【实践应用】如图2，若，，，则的坐标为.
(3) 【综合拓展】如图3，已知二次函数的图象与轴交于两点（在轴左侧，在轴右侧），与轴负半轴交于点.经过三点的圆与轴正半轴交于点，求点的坐标.
【答案】(1) 见解析 (2) (3)
【数侠培优解析】(1) 如图1，连结 ，易证 ，则
即 .
(2) ，
(3) 设 ，因为，即
当 时，由韦达定理可得 ，，所以 ，则 .
23. （本题10分）已知二次函数 的图象与 轴交于 两点（ 在 的左侧），且 ，图象顶点的横坐标为 .(1) 求 两点的坐标.(2) 求方程 的解.(3) 若 ，将此二次函数在 轴下方的图象沿 轴翻折得到新的函数图象，若直线 与新图象有 个交点，从左至右依次为 ，当 时，求 的值.
【答案】(1) (2) (3)
【数侠培优解析】
(1) 设 ， ①， 由韦达定理知 ，图象顶点的横坐标为 ，得 ，即 ②， 解①②得 ，所以 .
(2) 由 ，可得 ， 则方程 化简为 ，解得 .
(3) 因为 ，所以 ，翻折后 ， 因为 ，对称轴为直线 ，所以设 ，分别带入对应解析式， 得 ，所以 ，即 ，解得 ，所以 .
第24题
（本题12分）如图1，已知的高，，，点是边上的动点，以为直径作圆，交边于，交线段于，交线段于.(1) 求证：.(2) 如图2，连结，若恰好经过点.① 求的值.② 求的长.
【答案】(1) 见解析 (2) ① ②
【数侠培优解析】(1) 因为 是直径，所以 ，， 因为 为三角形的高，所以 ，，所以 .
(2) ① 因为 ，，，所以 ，，， 因为四边形 内接于圆，所以 ，因为 ， 所以 ，且 ，所以 ，则 .
② 因为 ，设 ，，作 ，因为 ，所以 ，，
易证 ，则 ，则 ，
易证 ，则 ，即 ，
解得 ，所以 .
