一、近 5 年河北中考函数必考 3 大类

1. 一次函数
   （选择、填空、简单解答）
2. 反比例函数
   （选择、填空、小综合）
3. 二次函数
   （压轴大题，必考）

下面我按题型→原理→答题步骤给你整理成万能模板。

二、一次函数（y=kx+b，k≠0）

1. 常考什么

• 求解析式
• 判断增减性
• 求交点
• 与几何结合（面积、平行、垂直）

2. 核心原理

• 过两点 → 列方程组求 k、b
• k>0 递增；k<0 递减
• 两直线交点：联立方程解 (x,y)
• 与 x 轴交点：y=0；与 y 轴交点：x=0

3. 万能答题步骤

1. 设解析式
   ：y = kx + b
2. 代入已知点
   ，列二元一次方程组
3. 解出 k、b
   ，写出解析式
4. 求交点：联立两个函数，解方程
5. 求面积 / 长度：用坐标算底和高

三、反比例函数（y=k/x，k≠0）

1. 常考什么

• 求 k
• 图像象限判断
• k 的几何意义（面积）
• 与一次函数综合

2. 核心原理

• k>0：一、三象限；k<0：二、四象限
• k 几何意义
  ：过图像上一点作 x、y 轴垂线，矩形面积 = |k|，三角形面积 = |k|/2

3. 万能答题步骤

1. 已知点代入 → 直接求 k
2. 看 k 正负 → 判断象限
3. 求面积：用 |k|/2 或 |k|
4. 与一次函数联立 → 解方程组得交点

四、二次函数（必考压轴！最重要）

1. 三种解析式（河北必考）

1. 一般式
   ：y = ax²+bx+c
2. 顶点式
   ：y = a(x−h)²+k
3. 交点式
   ：y = a(x−x₁)(x−x₂)

2. 核心原理

• 开口：a>0 向上，a<0 向下
• 对称轴：x = -b/(2a)
• 顶点坐标：(-b/(2a)，4ac−b²/(4a))
• 与 x 轴交点：令 y=0，解方程 ax²+bx+c=0
• 直线与抛物线交点：联立 → 一元二次方程 → Δ 判断

3. 万能答题步骤（压轴通用）

1. 求解析式

• 已知三点 → 一般式
• 已知顶点 → 顶点式
• 已知与 x 轴两交点 → 交点式

2. 求顶点 / 对称轴 / 最值

• 套公式或配方

3. 求交点

• 联立函数 → 解方程 → 写出坐标

4. 求面积 / 线段长

• 坐标相减算长度
• 割补法算面积

5. 存在性问题（点是否存在）

• 设点坐标 → 列方程 → 有解则存在

近五年内真题讲解

一、2021 年河北中考・函数真题（全解）

1. 反比例函数（填空 19 题）

题干：双曲线 y=x8 与直线 y=a 交于一点。(1) 当 a=1.5 时，求交点坐标；(2) 视窗不变，原点居中，要看到 a=−1.2,−1.5 的交点，单位长度变为原来 k1，求整数 k。

原理：联立方程求交点；坐标缩放与可视范围。步骤：(1) 联立 x8=1.5⇒x=316交点：(316,1.5)

(2) a=−1.2⇒x=−320≈−6.67；a=−1.5⇒x=−316≈−5.33原视窗：−15≤x≤15需 −320⋅k≥−15⇒k≤2.25整数 k=2

2. 二次函数（选择 12 题）

题干：y1=a(x+2)2−3，y2=(x−3)2+1，交于 A(1,3)；过 A 水平线交两抛物线于 B,C。判断：① y2 恒正；② a=1；③ BC=5。

原理：顶点式、代入求值、函数值符号。步骤：① y2=(x−3)2+1≥1>0 → 正确② 代入 A(1,3)：3=a(3)2−3⇒a=32 → 错误③ y=3：y1⇒x=1 或 −5；y2⇒x=1 或 5BC=∣−5−5∣=10 → 错误结论：仅①正确

二、2022 年河北中考・函数真题（全解）

1. 一次函数（25 题）

题干：A(−8,19),B(6,5)(1) 求直线 AB 解析式；(2) 射线 y=mx+n 过 C(2,0)，击中 AB 整点，求 m,n 关系与 m 值。

原理：待定系数法、整点条件。步骤：(1) 设 y=kx+b{−8k+b=196k+b=5⇒k=−1,b=11解析式：y=−x+11

(2) 过 (2,0)⇒2m+n=0⇒n=−2m射线：y=mx−2m联立 −x+11=mx−2m⇒x=m+111+2mx,y 为整数 → m=−3,−2,0,1（m=0）m=−3,−2,1

2. 二次函数（23 题）

题干：y=−x2+bx+c 交 x 轴于 A(2,0),B(−4,0)(1) 求解析式；(2) 对称轴、顶点；(3) 交 y 轴于 C，在抛物线上找点 P 使 S△PAB=2S△CAB。

原理：交点式、对称轴、面积公式。步骤：(1) 交点式：y=−(x−2)(x+4)=−x2−2x+8解析式：y=−x2−2x+8

(2) 对称轴：x=22−4=−1顶点：x=−1⇒y=9对称轴 x=−1，顶点 (−1,9)

(3) C(0,8)，S△CAB=21×6×8=24S△PAB=48=21×6×∣yP∣⇒∣yP∣=16yP=16（舍去）或 yP=−16−x2−2x+8=−16⇒x=−1±25=−1±5P(4,−16) 或 (−6,−16)

三、2023 年河北中考・函数真题（全解）

1. 反比例函数（填空 17 题）

题干：A(3,3),B(3,1)，反比例函数 y=xk 与线段 AB 有交点，求 k 范围。

原理：函数图象上点的坐标特征。步骤：线段 AB：x=3，1≤y≤3代入 y=3k⇒1≤3k≤3⇒3≤k≤9

2. 二次函数（选择 16 题）

题干：y1=−x2+m2x，y2=x2−m2，与 x 轴四个交点等距，求对称轴距离。

原理：求交点、对称轴、分类讨论。步骤：y1：x=0,m2，对称轴 x=2m2y2：x=±m，对称轴 x=0交点：−m,0,m,m2（m>0）等距：m−0=0−(−m)=m2−m⇒m=2对称轴距离：24−0=2答案：A（2）

四、2024 年河北中考・函数真题（全解）

二次函数压轴（26 题）

题干：C1:y=ax2−2x 过 (4,0)；C2:y=−21(x−t)2+21t2−2(1) 求 a 与 Q；(2) 验证定点 / 平移；(3) t=4 求直线与交点；(4) 交点范围。

原理：待定系数法、顶点、判别式、定点。步骤：(1) 代入 (4,0)：16a−8=0⇒a=21C1:y=21x2−2x=21(x−2)2−2顶点 Q(2,−2)

(2) C2 化简：y=−21x2+tx−2恒过定点 (0,−2)（淇淇正确）

(3) t=4⇒C2:y=−21(x−4)2+6，P(4,6)直线 PQ：y=4x−10l∥PQ⇒y=4x+b交点到 x 轴距离为 6：y=±6联立得 b=−10±234

五、2025 年河北中考・函数真题（全解）

二次函数压轴（24 题）

题干：L1:y=−x2+bx+c 过 A(0,3),B(6,3)；L2:y=a(x−3)2+d 过 C(21,2)(1) 求 b,c,P；(2) D 在 L1，y=423，判断 L2 过 D；(3) 直线 AE 与 M 点条件。

原理：待定系数法、顶点、判别式、点坐标。步骤：(1) 代入 A,B：c=3，−36+6b+3=3⇒b=6L1:y=−x2+6x+3=−(x−3)2+12顶点 P(3,12)

(2) y=423⇒−x2+6x+3=423⇒x=23 或 29D(23,423) 或 (29,423)代入 L2：a(23−3)2+d=423结合 C 点：a=−2能经过，a=−2

(3) ① E=P(3,12)，M(23,6)代入 L2⇒a=−2② 联立 Δ=0⇒k=2 或 10

近 5 年函数题核心规律（必背）

1. 一次函数
   ：待定系数法求解析式 → 联立求交点 → 整点 / 范围
2. 反比例函数
   ：求 k → 增减性 → ∣k∣ 几何意义
3. 二次函数
   （压轴必考）：
• 第 1 问：待定系数法求解析式（一般 / 顶点 / 交点式）
• 第 2 问：顶点、对称轴、函数值
• 第 3 问：联立 + 判别式（Δ=0 相切）、存在性、面积、动点

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