由于笔者现在年龄已经大了，所以没有参加这种竞赛，但不妨碍我把题目讲得明明白白。
今年这场比赛，2026年3月15日落下帷幕。主办方是上海市教师教育学院（市教委教研室），不是高校自主举办，直接对接复旦数学英才班的选拔，是上海本地高三生冲复旦的官方核心通道。往年复旦英才班最低录取分只要527分，比普通批裸考低了近百分，而这场比赛的成绩，就是你拿到英才班入场券的核心敲门砖，全上海四校八大的顶尖学生，几乎全员参赛。
今天，我挑一道贴合上海高考和四校八大自招核心考点、所有高中生甚至初中生都能完全看懂的第9题，从头到尾拆干净：从审题避坑，到高考通用的万能解法，再到考点延伸和同类题套路，哪怕你是高二、高三基础一般的学生，看完也能完整做出来，学完就能用在考试里拿分。
我们先看题目：
一、先做第一步：审题避坑，90%的学生第一步就丢分
很多学生拿到题就急着求导、化简，却忽略了最关键的定义域，这也是高考里最常见的“送分坑”。
二、核心解法：三角换元+辅助角公式，高考自招通用的万能解法
这个方法全程只用高中课本里的核心公式，没有任何竞赛冷门知识点，所有高中生都能完全看懂。
步骤1：设元，锁定角的范围，完美去根号
一步就去掉了最麻烦的根号，把复杂的代数函数，转化成了我们最熟悉的三角函数。
步骤2：代入化简，整理成标准形式
步骤3：二次换元，转化为闭区间二次函数求最值
步骤4：求二次函数的最值，一步出结果
f(t) = t^2 + 3t - 1, t 属于 [-1, 根号2]
三、两种拓展解法，适配不同层次的学生
解法二：导数法，基础薄弱的学生也能上手
如果你对三角换元不熟悉，用高考最常用的导数法也能做，思路更直接，没有任何技巧门槛：
1. 对原函数求导，通分化简，令导数 f'(x)=0 ，解得临界点 x = 二分之根号二
2. 分别计算临界点和定义域端点 x=-1、x=1 处的函数值
3. 对比四个值的大小，即可得到最大值和最小值
这个方法思路简单，计算量稍大，适合用来验证答案，保证不丢分。
解法三：几何意义法，冲击四校八大自招的学生必看
我们可以把原函数变形，将 y = f(x) 转化为直线方程，结合单位圆 x^2+y^2=1 的几何意义，用“直线与圆有交点”的位置关系求最值。这个方法在自招题里非常常用，能极大缩短解题时间，后续我会单独出一篇文章拆解这个技巧。
四、考点延伸：这道题给上海备考生的核心启示
很多学生觉得，这是竞赛题，和我高考、自招没关系，那就大错特错了。
这道题用到的三角换元、辅助角公式、二次函数闭区间最值、导数求极值，全是上海高考数学的核心必考点，也是四校八大自招笔试的高频题型。哪怕你不打竞赛，把这道题吃透，也能解决高考里80%的函数最值题，实实在在拿分。
网上很多人说今年的上海高三数学竞赛题偏简单、陈旧，但在我看来，这套题最有价值的地方，就是把高考和自招的考点做了完美衔接，没有为了难而难，真正考察的是学生的基础功底和思维灵活性。
后续我会继续拆解这套试题里的其他题目，从易到难，把每道题的思路、套路、考点都讲透，帮上海的备考生们，把这场竞赛里的高考、自招、复旦英才班红利全部吃干榨净。
关注我，后续第一时间获取上海四校八大自招、强基计划、复旦英才班的一手干货和真题拆解。
12道真题
