中考几何专题3

48．如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠BAC＝∠DAE＝60°，AD＜AC．连接BD，点F是BD的中点，连接CE，CF，EF．

（1）如图1，当点D在AC上时，求证：△CEF是等边三角形；

（2）将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转．

①当旋转角为60°时，如图2所示，（1）中的结论还成立吗？说明理由；

②当EF最长时，EF与AD的交点记作M．若AE＝3，则EM＝  ．

49．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．M是BC的中点，DM交AC于点G．

（1）求证：AG＝2GC；

（2）设∠BCD，∠BDC的角平分线交于点I．

①当AB＝6，BC＝8时，求点I到BC的距离；

②若AB+AC＝2BC，作直线GI分别交BD，CD于E，F两点，求的值．

50．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝2，AD＝1．

（1）若△ABD是等腰三角形，则BD＝  ；

（2）已知OB＝OD，AC＝BD．

①若OA＝OC，判断四边形ABCD是怎样的特殊四边形，并说明理由；

②如图，在△ACD中，CD²＝AD²+AC²，求AC的长．

51．【背景资料】

最小覆盖圆在几何学和计算机科学中有着广泛的应用．我们把能完全覆盖某平面图形的最小的圆称为该平面图形的最小覆盖圆．如线段的最小覆盖圆是以线段为直径的圆，锐角三角形的最小覆盖圆是这个三角形的外接圆，直角三角形的最小覆盖圆是以斜边为直径的圆，钝角三角形的最小覆盖圆是以最长边为直径的圆，正方形的最小覆盖圆是以对角线为直径的圆．

【动手操作】

如图1，△ABC中，∠BAC＞90°，请作出△ABC的最小覆盖圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．）

【迁移运用】

正方形ABCD的边长为7，在边CD上截取CE＝2，以CE为边向外作正方形CEFG．

（1）如图2，连接AF，DF，求△ADF的最小覆盖圆的直径；

（2）将图2中的正方形CEFG绕点C逆时针旋转90°（如图3），⊙O经过A，D，F三点，且与边AB，CD分别交于点I，L，求△ADF的最小覆盖圆的直径；

（3）将正方形CEFG绕点C旋转，分别取DB，BG，GE，ED的中点M，N，P，Q，顺次连接各中点，得到四边形MNPQ（如图4）．在旋转过程中，四边形MNPQ的最小覆盖圆的直径d的值是否发生变化？如果不变，请直接写出d的值；如果变化，请直接写出d的取值范围．

52．Rt△ABC和Rt△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，．

【初步感知】

（1）如图1，若，连接AD，BE，则AD与BE之间的数量关系是  ，位置关系是  ；（直接写出结论，不写推理过程）

【深入探究】

（2）如图2，若，将△CDE绕点C旋转，设直线BE与AC交于点M，与AD交于点N，试确定AD与BE之间的数量关系和位置关系，并说明理由；

【迁移应用】

（3）如图3，当点D在Rt△ABC内部，且∠ACD＝∠ABC时，若＝7.5，CE＝3.5，连接AD，BE，作CF⊥BE于点F，交AD于点G，求FG的长．

53．【问题情境】

小明在学习了正方形的相关知识之后，在一张边长为4的ABCD正方形纸片上进行了关于折叠的研究性学习．【探究感悟】

如图①，小明在边AB上取点E（E不与A，B重合），连接DE，将△ADE沿DE翻折，使得点A的对应点A₁恰好落到对角线BD上，则此时线段BE的长是 ；

【深入探究】

小明继续将△ADE沿DE翻折，发现：A_1，B，C三点能构成等腰三角形．请求出此时线段BE的长；

【拓展延伸】

如图②，小明又在边CD上取点F（F不与C，D重合），并将四边形ADFE沿EF翻折，使得点A的对应点A₁恰好落在边BC上，记A₁D₁（D₁为D的对应点）与CD的交点为G，连接AD₁，小明再次发现：线段EF与AD₁的长度之和存在最小值，请求出此时线段CG的长．

54．探究与应用

[问题初探]（1）在等腰三角形ABC的底边BC上任取一点P（不与端点重合），连接AP，线段AB、AP、BP、CP有何数量关系？下面是小刚的部分思路和方法，请完成填空：

根据小刚的方法，可以得到线段AB、AP、BP、CP的数量关系是 ．

[简单应用]（2）如图（2），在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AB上，AD＝AC＝2，以CD为边构造正方形CDEF，利用（1）中的结论求正方形CDEF的面积．

[灵活应用]（3）如图（3），⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC的平分线交AC于点D，连接OB、OD，若OB＝9，OD＝5，，求BD的长．

[深度思考]（4）如图（4），在△ABC中，∠C＝120°，点D、E分别在边AC、BC上，且满足AD＝DE＝BE，AE、BD交于点P，若tan∠CAE，则的值为 ．

55．图形的平移、旋转和对称是我们从图形变换的视角研究图形的重要方法．为了深入理解旋转的本质，王老师和同学们在数学实践课上以正方形为背景进行如下探究．

【知识技能】

（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边CD、AD上的点，连接BE、BF、EF，且∠EBF＝45°．将△BCE绕点B按逆时针方向旋转90°至△BAM，则点M在DA的延长线上．

①证明△BFM≌△BFE，并判断AF+EC＝EF是否成立；

②若DF＝5，DE＝12，请计算正方形ABCD的周长．

【教学理解】

（2）如图2，在正方形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE＝CF．连接AF、CE，M、N分别是线段AF、CE上的点，连接BM、BN、MN，且∠MBN＝45°（点E、F、M、N均不与端点重合）．请猜想线段AM、MN、NC的数量关系，并说明理由．

【拓展研究】

（3）如图3，BD是正方形ABCD的对角线，P、Q分别为线段BD、BC上的点，且∠PQB＝45°．将△BPQ绕点B按顺时针方向旋转（旋转角小于45°）至△BMN．连接ND，取线段ND的中点E，连接CE、CM，求的值．

56．【数学发现】

某校数学兴趣小组进行了如下探究：以△ABC内部任意一点O为中心，画出与△ABC成中心对称的△A′B′C′．当点O处于不同位置时，从“形”的角度发现两个三角形的重叠部分只可能有两种情况：如图1所示的平行四边形，如图2所示的有三组对边分别平行的六边形（称为“平行六边形”）；从“数”的角度发现两个三角形重叠部分的面积在不断变化．

【问题解决】

组员小明选择面积为1的△ABC，以其内部任意一点O为中心，画出与之成中心对称的△A′B′C′，探究了下列问题，请你帮他解答．

（1）如图3，BC＝2，当点A关于点O的对称点A′落在边BC上时，两个三角形重叠部分为▱AQA′P．

①若AA′⊥BC，求AO的长；（请直接写出答案）

②若▱AQA′P的面积为，求A′C的长．

（2）如图4，点D为BC的中点，点O在AD上，若两个三角形的重叠部分为“平行六边形”EFGHMN，求“平行六边形”EFGHMN面积的最大值，并指出此时点O的位置．

57．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，点O为AC的中点．在Rt△DBE中，∠DBE＝90°，DB＝3，BE＝4，连接EO并延长到点F，使OF＝EO，连接AF．

初步感知：

（1）如图1，当点D，E分别在AB，BC上时，请完成填空：∠DAF＝ °． ．

深入探究：

（2）如图2，若将图1中的△DBE绕点B按逆时针方向旋转一定的角度α（0°＜α＜90°），连接AD，CE，AE，CF．

①（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．

②当四边形AECF的面积最小时，求线段AD的长．

58．如图1，将Rt△AOB绕直角顶点O旋转至△COD，点A，B的对应点分别为C，D．连接AD，BC，AC，BD，直线AC与BD交于点E．

（1）△AOD与△BOC的面积存在怎样的数量关系？请说明理由；

（2）如图2，连接OE，若AB，CD，OE的中点分别为P，Q，R．求证：P，Q，R三点共线；

（3）已知AB＝5，随着OA，OB及旋转角的变化，若存在以A，B，C，D为顶点的四边形，其面积为S，则S的最大值为 ．

59．综合与实践

（1）【初步感知】

如图①，△ABC和△ADE中，∠C＝90°，AE•AB＝AD•AC，∠CAD＝∠EAB，求∠E的度数；

（2）【深入探究】

如图②，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是线段BC上一点，连接AE，过点A在AE上方作FA⊥EA，使S_△AEFS_矩形ABCD，连接DF，请证明△ABE∽△AFD，并直接写出点F到BC的距离的最大值；

（3）【学以致用】

如图③，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝AB＝8，BC＝16，点E是线段AB的中点，点F是线段BC上一点，连接EF，过点E在EF上方作GE⊥FE，使S_△EFGS_梯形ABCD，当△ADG的面积最小时，求EG的长．

60．如图，四边形ABCD是正方形，点E在边CD上，点F在边BC的延长线上，DE＝CF，射线AE交对角线BD于点G，交线段DF于点H．

（1）求证：DH＝GH．（温馨提示：若思考有困难，可尝试证明△ADE≌△DCF）

（2）求证：AG•EH＝EG•GH．

（3）若n，直接写出的值（用含n的式子表示）．