21．如图，正方形纸片ABCD中，E是AD上一点，将纸片沿过点E的直线折叠，使点A落在CD上的点G处，点B落在点H处，折痕EF交BC于点F．若CG＝4，
，则AB＝ ．
22．如图，四边形ABCD是正方形，E为CD上一点，将△ADE绕点A顺时针旋转90°至△ABF，连接EF，AH⊥EF于点H，交BC于点G，若BG＝2，CG＝1，则CE的长为 ．
23．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，连接OE．若BD＝6，OE
，则菱形ABCD的面积是 ．
24．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N；再分别以M、N为圆心，大于
MN的长为半径画弧，两弧在∠BAC内交于点G；作射线AG，交BD于点H．若AB＝7，OH＝2，则S△ABH＝ ．
25．已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，P是边CD的中点，E是边AD上的动点，线段EF分别与BC，AP相交于点F，Q．若∠FQP＝45°，则EF的长为 ．
26．一种遮阳伞如图，遮阳伞支架AB垂直于地面BC，点D在AB上，AD＝0.6m，D，E，F三点共线，DF＝3DE＝3AE．当太阳光线与DF垂直时，它与地面的夹角正好为60°，则DF落在地面上的投影GH＝m．
27．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，动点P从点A出发，沿着A→B→C的路径运动到点C停止，过点P作PQ⊥AC，垂足为Q．设点P的运动路程为x，PQ﹣AQ的值为y，y随x变化的函数图象如图2所示，则BC的长为 ．
28．如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，对角线AC、BD相交于点M．过点D作AC的平行线交BC的延长线于点N，连接MN．则MN的长为 ．
29．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D在边AB上，过点A作AE⊥CD，垂足为点E，则
的最小值是 ．
30．如图，在△ABC中，tanC
是边BC上一点，将△ACD沿AD翻折得到△AED使线段AE、BC相交于点F，若CF＝5，EF＝2，则AC＝ ．
31．四边形ABCD中，AC与BD交于点O，O是AC的中点，BO＝2DO，已知AB＝4，AD＝2，tan∠ACD
，则AC的长为 ．
32．如图，点E，F在矩形ABCD内，Rt△ABE≌Rt△CDF．若AB＝25，AD＝30，AE＝15，则EF的长为 ．
33．如图，E，F分别是正方形ABCD边BC，CD上的点，且△CEF的周长是正方形ABCD边长的2倍，AE交BD于点M，AF交BD于点N，若
，则MN＝ ．
34．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，BC＝4，AD＝2，点E在四边形内，DE⊥CE，EF⊥CD于点F，将△BCG沿CG翻折，点B恰好与点E重合，延长FE交折痕CG的延长线于点H，∠DCG＝45°，则点B到直线FH的距离为 ．
35．如图，▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作BD的垂线，分别交BC，AD于点M，N，延长DC交直线MN于点E，延长BA交直线MN于点F，分别连接DF，BE，有如下结论：①OA＝OC，OB＝OD；②四边形BEDF是菱形；③若FA＝FN＝1，AB＝3，则OD
；④若FA＝1，AB＝3，∠ABE＝60°，点P为EF上的一个动点，则PA+PB的最小值是
．上述结论中，所有正确结论的序号是 ．
36．如图，△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝3，
，分别以AB，BC为直角边，以B为直角顶点向△ABC外部作Rt△ABD和Rt△CBE，且∠DAB＝∠E，M，N分别是AD，CE的中点，连接MN．若
，则MN的长度为 ．
37．如图，点E是▱ABCD内一动点，且∠AEB＝90°，AB＝4，BC＝7．
（1）△AEB面积的最大值为 ；
（2）连接CE，分别取CD、CE的中点M、N，连接MN．若∠BAD＝120°，则线段MN长度的最小值为 ．
38．如图，在▱ABCD中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，点E，N，F，M分别在边AB，BC，CD，DA上，且EF，MN将▱ABCD分成面积相等的四部分．若BE＝1，则MN的长为 ．
39．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝8，D是AB的中点，M是边AC上的动点，作DN⊥DM，交BC于点N，延长MD到点P，使得
．当△PNB面积最大时，AM的长等于 ．
40．在平行四边形纸片ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，BC＝8．现将该纸片折叠，折痕与纸片ABCD的两边交于点E、F．若E与A重合，F在BC上，且EF⊥BC，则被折痕分成的△EBF与四边形EFCD的面积的比为 ；若折痕EF将纸片ABCD分成两个四边形，且被分成的两个四边形的面积的比为1：3，则折痕EF长的取值范围是 ．
41．问题探究
（1）在△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝8，AD为BC边上的中线，则AD的长为 ；
（2）如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝4，AB＝6，P为边BC上一点，PM⊥AC，PN⊥AB，垂足分别为M，N，连接MN，求MN的最小值；
问题解决
（3）如图②，四边形ABCD是一个游乐场的平面示意图，出入口在点B处．已知∠DAB＝∠ADC＝90°，AB＝800m，AD＝CD＝600m．为了进一步提升游乐场的服务功能，管理部门规划修建由MN，NP，PQ，QM四条直步道连接而成的观景环道及服务中心O，其中，点M在边CD上，点N在边AD上，点P，Q在边AB上，点O为MN的中点．
按照设计要求，MN的长为400m，PQ的长为80m，在点B与点O之间距离最短的情况下，使所修建的观景环道最短．请你帮助管理部门计算，当BO最小时NP+MQ的最小值及此时BQ的长．（步道宽度及出入口，服务中心的大小均忽略不计）
42．（1）探索发现
东营市全面落实国家课程方案．某校开设了纸艺课程，三个项目组在折纸活动中发现：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，折叠△ABC，使AC边落在AB边上，折痕为AD，则BD，CD与∠BAC的两边AB，AC存在着某种关系．
如图1，请你帮助项目组判断
与
的数量关系为 ．
（2）猜想验证
项目组猜想：当△ABC为任意三角形时，上述数量关系仍然成立．为了验证这一猜想，项目组按照（1）中的方法折叠，AD为折痕，分别得出了不同的方案，并画出了以下图形．请选择任意一种方案证明．
（3）拓展应用
如图5，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，E为BC延长线上一点，AE＝DE．求证：
．
43．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝4，∠C＝90°，点P是边AB中点，∠MPN＝90°，∠APN＝θ．
（1）点N在线段AC上，点M在线段CB上．
①当θ＝45°时，CM的值是 ；
②当0°＜θ＜90°时，求CM+CN的值；
（2）点N在射线AC上，点M在射线CB上．当0°＜θ＜135°时，直线MN与射线PC相交于点F，若CM＝2CN，求
的值．
44．已知点O是正方形ABCD的中心，点P，E分别是对角线AC，边BC上的动点（均不与端点重合），作射线PE．
（1）将射线PE绕点P逆时针旋转90°，交边CD于点F．
①如图1，当点P与点O重合时，求证：PE＝PF；
②如图2，当
时，请判断
是否为定值．如是，请求出该定值；如果不是，请说明理由；
（2）如图3，连接BP，当∠BPE＝45°时，将射线PE绕点P顺时针旋转90°，交边AB于点F．若
＝a，求四边形PEBF的面积（用含a，k的式子表示）．
45．如图1，正方形ABCD的边长为2．E、F分别为边BC、CD上的动点，△CEF的周长为4，G是CB延长线上的一点，且GB＝DF．
（1）求证：AG⊥AF；
（2）试问∠EAF的大小是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由；
（3）如图2，若M为边BC的中点，过点A作AH⊥EF，垂足为H．求MH的最小值．
46．综合与实践
【问题提出】
原题呈现（人教版九年级下册85页第14题）
如图1，在锐角△ABC中，探究
之间的关系．
【问题探究】
将下列探究过程补充完整：
（1）如图1，过点A作AD⊥BC，垂足为D，过点B作BE⊥AC，垂足为E．
在Rt△ABD中sin∠ABC
∴AD＝c•sin∠ABC
在Rt△ADC中sin∠ACB
∴AD＝b•sin∠ACB
∴c•sin∠ABC＝b•sin∠ACB即
同理在Rt△AEB中BE＝
在Rt△BEC中BE＝
∴ ＝
即
∴
；
【结论应用】
（2）如图2，在△ABC中，AB＝2
，∠A＝70°，∠B＝50°．求AC，BC的长．（结果保留小数点后一位；参考数据：sin50°≈0.77，sin70°≈0.94．）
【深度探究】
（3）如图3，⊙O是锐角△ABC的外接圆，半径为R．
求证：
2R．
【拓展应用】
（4）如图4，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝45°，AB＝2
是线段BC上的一个动点，以AD为直径的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接EF．则线段EF长度的最小值是 ．
47．如图1，在矩形ABCD中，AB＝3，
，点M是边BC上一个动点，点N在射线CD上，∠MAN＝60°．线段AM的垂直平分线分别交直线AB、AM、AN、CD于点E、F、G、H．
（1）直接写出∠ACB＝ °，
；
（2）当BM＝1时，求EF+GH的值；
（3）如图2，连接MG并延长交直线CD于点P．
①求证：MG＝PG；
②如图3，过点P作直线EH的垂线，分别交直线EH、AN于点T、Q，连接DQ，求线段DQ的最小值．
