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中考数学几何最值问题之“胡不归”问题

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中考数学几何最值问题之“胡不归”问题

中考数学几何最值问题之“胡不归”问题 第1张

【问题背景】
“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。当 k 值为 1
时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型
来处理，即可以转化为轴对称问题来处理。
 中考数学几何最值问题之“胡不归”问题 第2张
而当 k 取任意不为 1 的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无
法进行，因此必须转换思路。
此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。
即点 P 在直线上运动和点 P 在圆上运动。
其中点 P 在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；
点 P 在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。
本文将与大家共同探究线段最值问题“胡不归”问题的解决方案。
【知识储备】
线段最值问题常用原理：
①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
②两点间线段最短；
③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；
【数学故事】
从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径 A→B（如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭。邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…何以归”。
这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的“胡不归问题”。
中考数学几何最值问题之“胡不归”问题 第3张
【模型初探】
点 P 在直线上运动“胡不归”问题
如图所示，已知 sin∠MBN=k,点 P 为角∠MBN 其中一边 BM 上的一
个动点，点 A 在射线 BM、BN 的同侧，连接 AP,则当“PA+k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定? 
中考数学几何最值问题之“胡不归”问题 第4张
分析：本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小，过点 P 作 PQ⊥BN 垂足为
Q，则 k·PB=PB·sin∠MBN=PQ, 
中考数学几何最值问题之“胡不归”问题 第5张
∴本题求“PA+k·PB”的最小值转化为求“PA+PQ”的最小值(如图 1-1-2)，
即 A、P、Q 三点共线时最小，本题得解。
中考数学几何最值问题之“胡不归”问题 第6张
思考：当 k 值大于 1 时，“PA+k·PB”线段求和问题该如何转化呢？提取系数 k 即可哦！！！ 
【模型总结】
“胡不归”构造 某角正弦值等于小于 1 系数，
过起点构造所需角（ k=sin ∠ CAE ），
过终点作所构角边的垂线，
利用垂线段最短解决问题。
中考数学几何最值问题之“胡不归”问题 第7张
【举例分析】
如图，四边形 ABCD 是菱形，AB=4，且∠ABC=60°，M 为对角线
BD（不含 B 点）上任意一点,则 AM+1/2BM 的最小值为_________ .
中考数学几何最值问题之“胡不归”问题 第8张
分析：如何将1/2BM 转化为其他线段呢？
即本题 k 值为1/2，必须转化为某一角的正弦值啊，
即转化为 30 °角的正弦值。
思考到这里，不难发现，只要作 MN 垂直于 BC，
则 MN=1/2BM，
即 AM+1/2BM最小转化为 AM+MN 最小，本题得解。
中考数学几何最值问题之“胡不归”问题 第9张
【变式思考】：
(1)本题如要求“2AM+BM”的最小值你会求吗？
(2) 本题如要求“AM+BM+CM”的最小值你会求吗？
【中考真题】：
中考数学几何最值问题之“胡不归”问题 第10张

中考最值系列之“胡不归”问题

    中考的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如PA+PB最值，除此之外我们还可能会遇上形如“PA+kPB”这样的式子的最值，此类式子一般可以分为两类问题：（1）胡不归问题；（2）阿氏圆．本文简单介绍“胡不归”模型．
【故事介绍】
从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”（“胡”同“何”）
    如果先沿着驿道AC先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？

中考数学几何最值问题之“胡不归”问题 第11张

【模型建立】
    如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使中考数学几何最值问题之“胡不归”问题 第12张的值最小．

中考数学几何最值问题之“胡不归”问题 第13张

【问题分析】
中考数学几何最值问题之“胡不归”问题 第14张，记 中考数学几何最值问题之“胡不归”问题 第15张，即求BC+kAC的最小值．

【问题解决】

构造射线AD使得sin∠DAN=k，CH/AC=k，CH=kAC．

中考数学几何最值问题之“胡不归”问题 第16张

将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．

中考数学几何最值问题之“胡不归”问题 第17张
【模型总结】
    在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．而这里的PB必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB的等线段．
中考数学几何最值问题之“胡不归”问题 第18张

中考数学几何最值问题之“胡不归”问题 第19张中考数学几何最值问题之“胡不归”问题 第20张中考数学几何最值问题之“胡不归”问题 第21张

中考数学几何最值问题之“胡不归”问题 第22张
【小结】本题简单在于题目已经将BA线作出来，只需分析角度的三角函数值，作出垂线DH，即可解决问题，若稍作改变，将图形改造如下：则需自行构造α，如下图，这一步正是解决“胡不归”问题关键所在．

中考数学几何最值问题之“胡不归”问题 第23张

中考数学几何最值问题之“胡不归”问题 第24张

中考数学几何最值问题之“胡不归”问题 第25张中考数学几何最值问题之“胡不归”问题 第26张中考数学几何最值问题之“胡不归”问题 第27张

中考数学几何最值问题之“胡不归”问题 第28张
中考数学几何最值问题之“胡不归”问题 第29张

【书山有路勤为径，学海无涯苦作舟】

中考数学几何最值问题之“胡不归”问题 第30张

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