【中考压轴】一次函数与动三角形

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（中考真题改编）如图，在直角坐标系中，点A（1，0），E点在y轴的正半轴上，∠OAE＝60°，以线段OA为边在第四象限内作等边△AOB，D为直线AE上的一个动点，连接BD，以线段BD为边作等边△BCD（B、C、D为顺时针方向）.

（1）求直线AE的解析式；

（2）随着点D位置的变化，点C的位置变化有何规律？说明理由.

（3）若将“∠OAE＝60°”改为“∠OAE＝30°”，则点C的位置变化规律又是如何？请详细说明其变化规律.

图文解析：

（1）根据勾股定理和30°的直角三角形的相关性质，不难得到：

（2） 点D在不同位置的图形：

动态演示：各种不同位置的情况：

不难证得：△BOC与△BAD全等，得到∠BOC＝60°（x轴正方向时）或∠BOC＝120°（x轴负方向时），而∠AOB＝60°，因此点C永远都在x轴上运动.

（3） 点D在不同位置的图形：

动态演示：各种不同位置的情况：

不难证得：△BOC与△BAD全等，得到∠BOC＝90°，所以∠AOC＝30°或∠AOC＝150°——为定角，因此点C永远都在“经过原点，且与x轴正半轴构成的30°的直线上运动”，不难求得这条直线的解析式为：

思考：若将“∠OAE＝60°”改为“∠OAE＝45°”呢？

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