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高考数学拓展:阿氏圆

高考数学拓展:阿氏圆

一、阿氏圆老题

已知阿波罗尼斯圆  的两个定点分别为椭圆  的右焦点  与右顶点 ，且椭圆  的离心率为 （1） 求椭圆  的标准方程；（2） 如图 1，过右焦点  斜率为  的直线  与圆  相交于  （点  在  轴上方），点  是椭圆  上异于  的两点， 平分 ， 平分 （i）  求  的取值范围；（ii） 若  外接圆的面积为 ， 求直线  的方程

阿波罗尼斯圆的定义

【定义】在平面上给定两点 ，设点  在同一平面上且满足 ，当  且  时，  点的轨迹是个圆，称之为 阿波罗尼斯圆 （ 时  点的轨迹是线段  的中垂线）．

阿波罗尼斯圆的相关性质

性质1： 当  时，点  在圆  内，点  在圆  外；当  时，点  在圆  内，点  在圆  外．

性质2： 因 ，故  是圆的一条切线．若已知圆及圆外一点 ，可以作出与之对应的点 ，反之亦然．

性质3： 所作出的阿波罗尼斯圆的直径为 ，面积为 ．

性质4：三角形  的面积存在最大值，即当  时，三角形   取得最大值

性质5： 过点  作圆  的切线 （ 为切点），则 ， 分别为  的内、外角平分线．

性质6： 阿波罗尼斯圆的直径两端是按比例内分  和外分  所得的两个分点，如图4所示， 是  的内分点， 是  的外分点，此时必有  平分 ，  平分  的外角．

证明： 如图 5，由已知可得 （ 且  ），

，

又 ，

，即 

所以  平分 

由等角的余角相等可得 ，所以  平分  的外角．

高考阿氏圆的应用

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END

▌来源：中国数学协会   高等数学教材

▌编辑：HZE

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