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初二|算术平方根·为什么面积2的正方形边长是根号2

初二|算术平方根·为什么面积2的正方形边长是根号2
面积是 2 的正方形，边长到底是几？初二算术平方根，从这个"找不到的数"讲起

数海领航工作室· 初中数学每日指导

进入八年级，我们刚把分式、分式方程学完，教材接着带你进入一个全新的数家族——实数。第一关就是算术平方根。很多同学刚学√ 这个符号时是懵的：√16 我知道是 4，可"根号 2"到底是个什么数？为什么书上说它既不是整数、也写不成分数？其实，根号一点都不神秘，它就是"已知正方形的面积，反过来求边长"这件事的数学说法。今天我们从图形入手，把算术平方根一次讲透。

01　算术平方根从哪来：一个"反着算"的问题

小学我们就知道：知道正方形边长 a，面积就是 a²。这是正着算。可生活里常常反过来——一块正方形草坪面积是 25 平方米，它的边长是多少？就是问：哪个非负的数，自己乘自己等于 25？答 5。这个"已知乘积 S、反求那个非负底数"的运算，就是开平方，求出来的这个非负数 S，就叫 S 的算术平方根，记作√S。

平方与开平方互为逆运算：边长 a 平方得面积 S，开平方 a = √S 反求边长。

一句话记住：√S 就是"面积为 S 的那个正方形，边长是多少"。它不是凭空造出来的符号，而是边长的化身。有了这个图形直觉，根号就活了。

02　为什么非得造出 √2：面积为 2 的正方形，边长是多少

如果正方形面积是 1，边长就是 1；面积是 4，边长就是 2。这两个我们都熟。那如果面积是 2 呢？你会发现：边长 1 的话面积才 1，不够；边长 2 的话面积变成 4，又太大。哪个数自己乘自己正好等于 2？

面积 1、2、4 三个正方形并排：面积 2 的边长夹在 1 和 2 之间，即 √2。

这个数确实存在（那个正方形明明白白摆在那儿），但它既不是整数，也写不成分数——它是一个无限不循环小数，约等于 1.414。我们就把它记作 √2。人类当初之所以要发明根号，正是因为遇到了这种"实实在在存在、却写不成两整数之比"的量，它和以后要学的无理数、整个实数体系，就是从这一个√2 开始的。

03　初学最容易踩的三个坑

坑一：√16 写成 ±4。算术平方根定义里就强调"非负的那个"。√16 专门表示正的那个平方根，结果就是 4；±4 是"16 的平方根"的全部，二者不是一回事。考试看到 √，答案自动只取正。

坑二：负数也去开平方。没有哪个实数的平方是负数，所以被开方的数必须大于或等于 0。像 √(−4) 在我们现在的数范围内没有意义——根号下面不能是负数，这是硬规矩。

坑三：以为带根号就一定是"算不尽的无理数"。√4 = 2、√100 = 10，这些开得尽方，结果就是整数；√(4/9) = 2/3，开出来是分数。根号只是个符号，它后面到底是整数、分数还是无理数，要看被开方数本身。

检验口诀：算完一个√a，就问自己一句——"它平方回去是不是正好等于 a？"√16 = 4，因为 4² = 16；√2 ≈ 1.414，因为 1.414² 约等于 2。能平方回去对得上，就没算错。

三道典型题目精练

题 1（基础 · 求算术平方根）

题目：求下列各数的算术平方根：(1) 100；(2) 49/64；(3) 0.0001。

题 1：面积 100 的正方形，边长就是 √100 = 10。

解析：算术平方根就是"哪个非负数平方后等于它"。

(1) 因为 10² = 100，所以 √100 = 10；

(2) 因为 (7/8)² = 49/64，所以 √(49/64) = 7/8；

(3) 因为 0.01² = 0.0001，所以 √0.0001 = 0.01。

易错提醒：算术平方根只取非负的那个，三个答案都不要带±号；√(49/64) 是把分子分母分别开方，得 7/8，不是把 49 和 64 直接开成别的数；0.0001 是四位小数，开方后是两位小数 0.01，别数错位数。

题 2（中档 · 正方形面积与边长的关系）

题目：一块正方形地砖，面积是 36 平方分米。(1) 它的边长是多少？(2) 若把地砖放大，使面积变为原来的 2 倍（即 72 平方分米），新的边长是多少？

题 2：面积 36 边长 6；面积变 2 倍成 72，边长是 6√2，不是 12。

解析：(1) 边长 = √36 = 6 分米。

(2) 新面积 72，新边长 = √72。把 72 拆成 36×2，√72 = √(36×2) = √36 × √2 = 6√2 ≈ 8.49 分米。

易错提醒：最常见的错法是"面积变 2 倍，边长也变 2 倍"，直接答 12。错在把面积和边长当成了同比例——实际上面积是边长的平方，所以面积变 2 倍，边长只变 √2 倍。验算：(6√2)² = 36×2 = 72，正好对；若边长真变 2 倍成 12，面积会变成 144，是原来的 4 倍了。

题 3（技巧 · 用"夹逼法"估计无理数的大小）

题目：√2 究竟有多大？(1) 它介于哪两个相邻整数之间？(2) 它又介于哪两个相邻的一位小数之间？

题 3：用 1²=1＜2、2²=4＞2，把 √2 夹在 1 和 2 之间。

解析：估计一个根号数的范围，办法是"两边夹"：找两个数，一个平方后比它小、一个平方后比它大。

(1) 因为 1² = 1 ＜ 2，2² = 4 ＞ 2，所以 1 ＜ √2 ＜ 2；

(2) 再往细里夹：1.4² = 1.96 ＜ 2，1.5² = 2.25 ＞ 2，所以 1.4 ＜ √2 ＜ 1.5。

还能继续夹：1.41² = 1.9881 ＜ 2，1.42² = 2.0164 ＞ 2，所以 1.41 ＜ √2 ＜ 1.42……这样可以无限逼近，这正是 √2 约等于 1.414 的来历。

易错提醒：√2 ≈ 1.414 只是一个近似值，不是它的精确值；√2 是无限不循环小数，永远写不尽。考试问"√2 在哪两个整数之间"，标准答案是 1 和 2，不要直接写 1.414 当区间端点。

写在最后

算术平方根是整个实数章的地基。别再把√ 当成一个陌生的怪符号——它就是"面积为 a 的正方形，边长是多少"。记住三件事就够了：第一，√a 只表示非负的那个边长；第二，根号下不能是负数；第三，拿不准就平方回去验算。今天三道题建议自己遮着答案算一遍，尤其题 2 那个"面积变 2 倍、边长只变 √2 倍"，想通了这个，以后学到勾股定理、二次根式就顺了。我们下一篇实数章继续往下走。

—— 数海领航工作室 · 让每个根号都有几何意义 ——

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