2026年新高考数学II卷试题及详细解析

一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1.  （    ）

   A. B. 

   C. D. 

【答案】 B

【解析】 利用复数的乘法及完全平方公式展开：

1. 已知向量 ， 满足 ，，则  （    ）

   A. B. C. D. 

【答案】 C

【解析】 将已知条件的两边分别平方得：

两式相减得：

1. 已知集合 ，，则  （    ）

   A. B. 

   C. D. 

【答案】 A

【解析】 首先解集合  中的方程 （需满足 ）：

所以 。求交集得：

1. 双曲线  过点  和 ，则其渐近线方程为（    ）

   A. B. 

   C. D. 

【答案】 B

【解析】 将  和  代入双曲线方程得：

解得：，所以渐近线方程为 ，即 。

1. 棱台上下底面均为有一个内角为  的菱形，且上下底边长分别为  和 ，该棱台的高为 ，则该棱台体积为（    ）

   A. B. C. D. 

【答案】 D

【解析】 边长为  且夹角为  的菱形面积公式为 。所以上底面面积 ，下底面面积 。计算中间项：

棱台的体积公式为 。代入高  得：

1. 甲、乙、丙、丁等  人分成 A，B 两技术小组，要求每组  人，且甲乙必须在同一组，丙丁不能在同一组，共有多少分配方案？（    ）

   A. B. C. D. 

【答案】 C

【解析】 由于 A，B 两组是有标号的，我们首先考虑将除甲乙丙丁外的其余  人进行分配。甲、乙必须在同组，丙、丁不能在同组，因此共有两类可能： 第一类：甲、乙都在 A 组。此时 A 组还需要  人，B 组需要  人。因为丙、丁不能同组，所以丙、丁中必须有一个分在 A 组，另一个分在 B 组：

• 若丙在 A 组，丁在 B 组：A 组已有 {甲，乙，丙}，还需从剩下的  人中选  人，有  种；
• 若丁在 A 组，丙在 B 组：同理有  种。共计  种。 第二类：甲、乙都在 B 组。同理对称地有  种方案。 所以，总的分配方案数为  种。

1. 已知  为第二象限角，且 ，则  （    ）

   A. B. C. D. 

【答案】 C

【解析】 利用倍角公式展开 ，代入原式：

因为  为第二象限角，所以 ，等式两边同除以  得：

代入二倍角余弦公式 ：

在第二象限中，，所以 。对应地，。代入所求目标式：

1. 已知  为定义在  上的偶函数，且 。当  时，，则（    ）

   A. 

   B. 

   C. 

   D. 

【答案】 D

【解析】 由 ，联立可得：

所以  是以  为周期的周期函数。因为  是偶函数，所以有 。由  得：

说明  关于直线  对称。在定义区间  内， 是二次函数，其对称轴必为 。根据二次函数对称轴公式得：

另外，由于偶函数且周期为 ：

根据 。代入  到解析式中得：

所以 。

二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。）

1. 已知 ，，则（    ）

   A. 点  的坐标为 

   B. 当  时， 与  轴相切

   C. 当  时， 与  相切

   D. 当  与  相交时，两交点所在直线的方程是 

【答案】 BC

【解析】 将圆  的方程标准化：

A. 圆心  的坐标为 。A 错误； B. 当  与  轴相切时，半径 。B 正确； C. 当  时，。圆  的半径 ，圆心距 。因为 ，故两圆内切（相切的一种）。C 正确； D. 两圆相交时，公共弦所在直线方程为两圆方程直接相减：

D 错误。

1. 等比数列  的公比 ，，，记前  项和为 ，则（    ）

   A. 

   B. 

   C. 

   D. 

【答案】 AD

【解析】 A. 由 ，因 ，约去  得 。由  得 。A 正确； B. 求出前  项和的表达式：

当  为偶数时，，B 错误； C. 代入验证递推式不成立。C 错误； D. 对前  项和求和：

因为 ，所以：

因为对任意 ，均有 ，所以  恒成立。D 正确。

1. 已知抛物线 ，斜率  的直线  过点 ， 为等边三角形， 在  轴上， 在  上，则（    ）

   A. 抛物线准线方程为 

   B.  与  轴交点为 

   C. 若  与  相切于唯一一点 ，则抛物线焦点在直线  上

   D. 当  时， 面积最小值为 

【答案】 AB

【解析】 A. 准线方程为 。A 正确； B. 直线  过点  且斜率为 ，方程为 ，与  轴的交点（令 ）为 。B 正确； C. 直线过点 ，该点在抛物线内部，过内部点的直线不可能与抛物线相切。C 错误； D. 当  时， 为定长弦，无法取得面积最小值 。D 错误。

三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。）

1.  为等差数列  的前  项和。若 ，，则  ______。

   【答案】

   【解析】 根据等差数列通项公式：

   求前  项和：

2. 若函数  有两个零点，则  的取值范围是______。

   【答案】

   【解析】 令 。设 ，方程变形为 。根据均值不等式，当  时，，等号在 （即 ）时成立。为了使原方程有两个不同的实数根，水平直线  必须与对勾函数  有两个不同的交点，因此需满足 。

3. 球  的体积为 ， 四点均在球  的球面上， 为等边三角形，，则  的面积为______。

   【答案】

   【解析】 首先由球的体积求得外接球半径 ：

   由于  且  为等边三角形，四面体  是正三棱锥。设等边三角形  的外接圆半径为 ，边长为 ，则 。正三棱锥的高 。球心  必在底面外接圆中心与顶点  的连线上，满足几何关系：

   利用球心到顶点距离为 ，解得：

   因此，等边三角形  的面积为：

四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

1. （13 分） 某工厂抽取一批电子元件检测，记录第一次出现故障的时间（天），绘制成频率分布直方图。

   （1）求第一四分位数和中位数；

   （2）设  为首次故障时间小于  天的概率估计值。

   (a) 求 ；

   (b) 工厂向某用户销售  件电子元件， 为这  件产品中首次出现故障时间小于  天的件数，若 ，求 ，。

【答案】 答案见解析

【解析】（1）解：根据频率分布直方图，组距为 。各区间的频率计算如下： 的频率为 ； 的频率为 ； 的频率为 ； 的频率为 ； 的频率为 。

设第一四分位数为 。因为前两组的累积频率为 ，而前三组累积频率为 ，所以第一四分位数位于区间  内。根据比例关系：

设中位数为 。前三组的累积频率为 ，前四组的累积频率为 ，所以中位数位于区间  内。根据比例关系：

（2） (a) 解：首次故障时间小于  天即落在区间  内。根据频率估计概率，得：

(b) 解：已知 。根据二项分布的期望与方差公式：

1. （15 分） 在三棱锥  中， 在  上，，，。

   （1）证明：；

   （2）若 ，，，，求  与平面  所成角的正弦值。

【答案】 答案见解析

【解析】（1）证明：因为  且 ，而  且  平面 ，所以  平面 。 因为  平面 ，所以 。 又已知 ，且 ， 平面 ，所以  平面 。 由于点  在直线  上，所以直线  平面 。 因此， 成立。

（2）解：因为  平面 ，且  三点共线，我们以  为坐标原点，直线  为  轴，过点  在平面  内垂直于  的直线为  轴，直线  为  轴建立空间直角坐标系。 根据已知，，，。可确定以下点的坐标：

由（1）知  平面 （即  平面），所以直线  轴，则点  的横坐标与点  相同。因为 ，不失一般性，设  坐标为 。计算向量：

设平面  的法向量为 ，由：

取 ，可得 ，。所以，平面  的一个法向量为 。其模长为：

设  与平面  所成的角为 ，则：

所以， 与平面  所成角的正弦值为 。

1. （15 分） 在  中，已知 ，。 （1）证明： 为钝角三角形； （2）若  面积为 ，求  周长。

【答案】 答案见解析

【解析】（1）证明：在  中，。所以 。代入已知恒等式得：

利用余弦的加法公式展开：

代入 ：

因为 ，所以  与  异号。由此可知， 或  之中必有一个角的余弦值为负值，即必有一个角是钝角。所以， 为钝角三角形。

（2）解：因为 ，且 ，所以 。由  的面积公式：

根据正弦定理，设外接圆直径为 ：

由此可得：

在  中，利用余弦定理求 ：

因此：

所以， 的周长为：

1. （17 分） 已知椭圆 ，过右焦点垂直于  轴的直线被  所截线段长为 。

   （1）求  的离心率；

   （2） 为坐标原点，给定点 ， 在  上，过点  作  轴的垂线，垂足为点 ， 与  交于点 。当  在  上运动时， 的轨迹为 。 (a) 求  的方程； (b)  是否有中心点？当  为何值时， 有中心点？当  有中心点时，平移  到 ，使  为  的中心点，说明  为何形状？

【答案】 答案见解析

【解析】（1）解：因为椭圆  的方程中 ，所以半焦距 。右焦点为 ，过  垂直于  轴的直线为 。其与椭圆交点的纵坐标满足 。因为截线段长度为 ，所以：

所以 。椭圆的离心率为：

（2） (a) 解：由（1）知椭圆  方程为 。已知 ，因为  是  在  轴上的垂足，所以 。直线  的方程为：

直线  过  与 ，方程为：

设交点为 。由  得 。将其代入  方程：

从而：

因为  在椭圆上，所以满足 。代入可得：

展开整理，即得  的方程为：

(b) 解：对  的方程进行配方：

若 ，方程为抛物线，无中心点； 若  时， 存在唯一的中心点，其坐标为 。

当  时，将  平移至中心在原点处的 ，其方程形式为：

分析其几何形状： ① 若 ： 与  项的系数均大于 ，且右端项大于 ，此时  为椭圆； ② 若 ： 项系数小于 ， 项系数大于 ，且右端项小于 ，此时方程变形为 ，此时  为双曲线。

1. （17 分） 已知函数 ，曲线  在  处的切线方程为 。

   （1）求 ；

   （2）当  时，，求  的取值范围；

   （3）当  时，，求  的最小值。

【答案】 答案见解析

【解析】（1）解：根据函数在  处切线方程：

求函数的导函数：

切线斜率 。所以 。

（2）解：函数解析式为 。不等式可化为 。设辅助函数 ，则要求当  时，。求导数：

设 ，说明  在  上严格单调递增。又 ，所以存在唯一零点 。若 ，无法满足对任意  均有 （例如当  时递增），故必有 。当  时，因为  严格单调递增，故：

所以函数  在  上严格单调递增。要使  对任意  恒成立，只需：

因为 ，所以：

所以  的取值范围是 。

（3）解：要使当  时，。设 ，则 。求导数：

设 ，则 。求导数：

若 ：当  时，。由此可知 ，即 ，所以  恒成立。 若 ：在  时，，不满足条件。 综上所述， 的最小值为 。