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每周一题|初二数学＂60°旋转＂压轴题详解

2026-11-07 11:23

学道思维 | 初中数学

每周一题|初二数学“60°旋转”压轴题详解

学道思维 2026年11月7日四川

本周分享：

一道初二几何压轴题——等腰三角形 + 60°旋转 + 中点，三个条件叠加，最后求 AG/CE 的值。分享老师来自学道思维初中部团队：胡老师（毕业于中国人民大学，四川省高考前100）、许老师（西北农林科技大学）。

这道题的题干只有两行，却是一条完整的"条件链"：旋转负责搬家线段，垂直负责传递等长，中点负责把结论收进一个直角三角形。考试时能一次性走完这条链的学生不多。老规矩，先自己动笔试一试，再往下看老师的手写详解。

本周压轴题

点评

该题以"将 AD 绕点 A 逆时针旋转 60°"为背景，表面考旋转，本质是一条旋转全等 + 垂直平分线 + 中位线 + 解直角三角形的综合链。第一处关卡是利用 60° 的旋转角构造全等转移线段（作 AO⊥BC 并倍长 OF = OA，证 △ADF ≌ △AEC，得到 AE = EC）。

第二处关卡藏在 DE⊥CE 这个条件里——它其实是在提示垂直平分线：由 AE = EC 得 EF 垂直平分 AC，再由 EA = ED 得 BE 垂直平分 AD，从而 AB = DB。很多学生只盯着"旋转"硬算，看不见这条隐藏的等长传递线，就卡死在第一步。

最后由中点 G、I 构造中位线并证得 A、G、I 三点共线，把 AG 和 AD 收进同一个 Rt△AGD，用 sin45° 完成收尾。作为填空压轴，本题对条件翻译能力（60°→全等、垂直→垂直平分线、中点→中位线）要求极高，是高分段的分水岭。

手写详解

方法总结（"60°旋转"压轴题破题三步法）：

① 构造全等，转移线段：见 60° 旋转，第一反应是构造全等三角形。本题作 AO⊥BC 并延长一倍至 F（OF = OA），借 ∠FAD = ∠CAE 证 △ADF ≌ △AEC（SAS），得到 DF = EC、进而 AE = EC。

② 垂直平分线传递等长：AF = AC 且 ∠AFC 顶角为 60° → △AFC 为等边三角形 → F 在 AC 的垂直平分线上 → EF 垂直平分 AC；同理 EA = ED → BE 垂直平分 AD → AB = DB。等长关系全靠垂直平分线"接力"。

③ 中点中位线，收进同一个三角形：取 BH 中点 I，由 G、I 分别为 BE、BH 中点得 GI∥EH，配合 △AIH 等边推出 A、G、I 三点共线；在 Rt△AGD 中，AG/AD = sin∠ADG = sin45° = √2/2，又 AD = CE，故 AG/CE = √2/2。

一句话口诀：旋转造全等，垂直传等长，中点收结论。三个信号词各自触发一步，压轴题就变成了"接力赛"。

本期主讲老师

胡老师

学道思维 · 初中部数学教师 · 毕业于中国人民大学

深耕成都本地初中数学教学，擅长把压轴题拆解成学生"看得懂、记得住、用得上"的模型。

许老师

学道思维 · 初中部数学教师 · 毕业于西北农林科技大学

专注初中数学基础夯实与解题规范训练，擅长用“讲一道、通一类”的方式帮学生把知识点串成网络。

本期题目的思路梳理与讲义打磨，由胡老师、许老师团队共同完成。

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