初二基础篇 | 等边三角形：三角都是60°+三线合一+三种判定+手拉手全等（12题精练）

初中数学 · 八上第15章 等边三角形 · 基础篇

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📌 本讲导读
上一讲的等腰三角形是"两边相等"，这一讲的等边三角形是"三边都相等"——它是等腰三角形的"满分形态"，等腰三角形的一切性质它全都有，而且还多送两条对称轴。五件事说透：①定义与三条对称轴；②性质：三个角都是 60°；③三线合一的"全覆盖"（每一条边都能当"底边"用，高 = √3/2 · 边长）；④三种判定（三边相等 / 三角相等 / 有一个角是 60° 的等腰三角形）；⑤手拉手模型（两个等边三角形共顶点，一找夹角就出全等）。⚠️ 最高频的坑：判定③必须先有"等腰"——只给"有一个角是 60°"的普通三角形，判不出来。

一、知识清单

1. 定义与对称性
三条边都相等的三角形叫等边三角形（也叫正三角形）。
等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴——三条边上的中垂线（也是三条中线、三条高、三条角平分线所在直线）。
⚠️ 等腰三角形只有 1 条或 3 条对称轴（腰和底不等时只有 1 条），等边三角形固定是 3 条，这是判断题的常客。

2. 性质：三个角都是 60°
等边三角形的三个内角都相等，且每一个角都等于 60°。
推导：三角相等 + 三角形内角和 180° ⇒ 每个角 = 180°÷3 = 60°。
反过来用：只要算出某个三角形有一个角是 60°、另外两角也相等，它必然是等边三角形。
常用配合：等边三角形的一个外角 = 120°（180°−60°），求角度时经常要用到它。

3. 三线合一的"全覆盖"
等腰三角形的三线合一要求"底边上的"高、中线、角平分线；等边三角形三条边都相等，随便挑一条边当底边，三线合一都成立。
所以：等边三角形的一条高，同时是这条边上的中线、也是对角平分线，还把三角形切成两个全等的含 30° 的直角三角形。
必背两条公式（边长记作 a）：
高 h = (√3/2)·a；面积 S = (1/2)·a·h = (√3/4)·a²。
比例记忆：半个底边 : 高 : 边 = 1 : √3 : 2（这就是 30°-60°-90° 三角形的三边比）。

4. 三种判定，怎么选最快
① 定义法：三边都相等 ⇒ 等边三角形；
② 三角法：三个角都相等 ⇒ 等边三角形（其实只要两个角都是 60°，第三个角必然是 60°）；
③ 等腰 + 60°：有一个角是 60° 的等腰三角形 ⇒ 等边三角形。
⚠️ 判定③的两个前提都要满足：先等腰，再 60°。而且这个 60° 的角在哪个位置都行——是顶角，则两底角各 60°；是底角，则顶角 = 180°−60°−60° = 60°。
⚠️ 反例要记牢："有一个角是 60° 的三角形"不能判定为等边三角形（如 60°、50°、70°）。

5. 手拉手模型：两个等边三角形共顶点
两个等边三角形 △ABC、△ADE 共顶点 A（B、D 在 A 的同侧或异侧均可），连 BD、CE，则 △ABD ≌ △ACE（SAS）。
理由三件套：AB = AC（等边），AD = AE（等边），∠BAD = ∠CAE（都是 60° 减去或加上同一个角）。
结论链：BD = CE；对应角相等；两线段夹角 = 60°（旋转 60° 的必然结果）。
识别口诀：看到两个等边三角形"共用一个顶点"，先找那对"被同一个角夹着"的边，全等立刻出来。

二、题型精讲（5 类必考）

题型一性质求角度：先拿 60°，再用外角

例：等边 △ABC 中，D 是 BC 上一点，∠BAD = 25°，求 ∠ADC。

解：等边 ⇒ ∠B = 60°。
∠ADC 是 △ABD 的外角 ⇒ ∠ADC = ∠B + ∠BAD = 60° + 25° = 85°。

💡 等边三角形给出的 60°，最大用处是"当一个已知角去凑外角"。看到"顶点在边上"的角，先想外角定理。

题型二性质求长度：三线合一 + 勾股

例：等边 △ABC 中，AB = 8，AD⊥BC 于 D。求 BD 与 AD。

解：三线合一 ⇒ BD = ½BC = ½×8 = 4。
Rt△ABD 中，AD = √(8²−4²) = √48 = 4√3（也就是 √3/2 × 8）。

💡 等边三角形求长度的标准动作：先折半，再勾股。记住 1 : √3 : 2，边长 8 时高必然是 4√3，不必每次重算。

题型三判定：三法怎么选

例：△ABC 中 AB = AC，∠B = 60°，判断 △ABC 的形状。

解：AB = AC ⇒ 等腰，∠C = ∠B = 60° ⇒ ∠A = 180°−60°−60° = 60°。
三个角都是 60° ⇒ △ABC 是等边三角形（也可直接用"有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形"）。

💡 答题要写出判定的名字：说清"我用了哪一条"。只写"所以是等边三角形"而不引用依据，是常见的扣分点。

题型四手拉手：两个等边三角形共顶点

例：△ABC 与 △ADE 都是等边三角形，且共顶点 A，D 在 BC 上，∠BAD = 20°，AB = 6，BD = 2。求 ∠CAE 与 CE。

解：∠BAC = ∠DAE = 60° ⇒ ∠BAD = ∠CAE = 20°（都等于 60° 减去 ∠DAC）。
在 △ABD 与 △ACE 中：AB = AC，AD = AE，∠BAD = ∠CAE ⇒ △ABD ≌ △ACE（SAS）⇒ CE = BD = 2。

💡 手拉手的关键不是"图长得像手拉手"，而是找出那个"被两边夹住的相等角"：∠BAC 与 ∠DAE 都是 60°，从中各挖掉公共的 ∠DAC，剩下的必然相等。

题型五折叠与动点：把周长和路程摆到一条线上

例：等边 △ABC 边长为 6，点 P 从 A 出发沿 AB 以 1 单位/秒运动，点 Q 从 B 出发沿 BC 以 1 单位/秒运动，两点同时出发。当 △BPQ 是等边三角形时，t = ?

解：BP = 6 − t，BQ = t，∠B = 60°。
△BPQ 已是"有一个角 60°"，要它等边只需 BP = BQ：6 − t = t ⇒ t = 3（秒）。

💡 动点 + 等边判定的固定套路：先用 60° 把"等边"降级成"等腰"，再列一个方程。别忘了检查 t 的取值是否在合理范围内（本题 0 ≤ t ≤ 6，3 合格）。

三、考点速查表

四、巩固练习（12 题）

1. 等边三角形的一条边长为 6，则它的周长是______，每一个内角是______°。
2. 等边三角形的一条高为 3√3，则它的边长是______。
3. 等边 △ABC 中，延长 BC 到 D，使 CD = BC，连接 AD，则 ∠ADB = ______°。
4. 下列条件中，不能判定 △ABC 是等边三角形的是（　）
   A. AB = BC = CA　B. ∠A = ∠B = ∠C　C. AB = AC 且 ∠B = 60°　D. ∠A = 60°
5. 等边 △ABC 中，AD⊥BC 于 D，AB = 8，则 BD = ______，AD = ______。
6. 等边三角形的边长为 a，高为 h，则 h : a = ______。
7. △ABC 中 AB = AC，∠B = 60°，则 △ABC 是______三角形，依据是______。
8. 等边 △ABC 中，D 是 BC 上一点，∠BAD = 25°，则 ∠ADC = ______°。
9. 等边 △ABC 中，AB = 6，AD 平分 ∠BAC 交 BC 于 D，则 △ABD 的周长是______。
10. 一个等边三角形的边长扩大到原来的 2 倍，则它的周长变为原来的______倍，面积变为原来的______倍。
11. 等边 △ABC 中，D、E 分别在 BC、AC 上，且 BD = CE，AD 与 BE 交于点 P，则 ∠APE = ______°。
12. 等边 △ABC 的边长为 6，点 P 从 A 出发沿 AB 向 B 以 1 单位/秒运动，点 Q 同时从 B 出发沿 BC 向 C 以 1 单位/秒运动。当 △BPQ 是等边三角形时，运动时间 t = ______ 秒。

五、逐题解析

1. 18；60
   。三边相等 ⇒ 周长 = 3×6 = 18；三个内角都是 60°。
2. 6
   。h = (√3/2)a ⇒ 3√3 = (√3/2)a ⇒ a = 6。
3. 30
   。∠ACD = 180°−60° = 120°；AC = CD ⇒ ∠CAD = ∠CDA = (180°−120°)÷2 = 30°。
4. D
   。A 是三边相等（定义），B 是三角相等，C 是"等腰 + 60°"，都能判定；D 只给一个 60° 角，如 60°、50°、70° 就不是等边三角形。
5. 4；4√3
   。三线合一 ⇒ BD = ½BC = 4；Rt△ABD 中 AD = √(8²−4²) = √48 = 4√3。
6. √3 : 2
   。设边长为 a，则 h = (√3/2)a，故 h : a = √3/2 : 1 = √3 : 2（对应 1 : √3 : 2 的三边比）。
7. 等边；有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形
   。也可推出 ∠C = 60°、∠A = 60°，用"三个角都相等"来判。
8. 85
   。等边 ⇒ ∠B = 60°；∠ADC 是 △ABD 的外角 ⇒ ∠ADC = ∠B + ∠BAD = 60° + 25° = 85°。
9. 9 + 3√3
   。AD 平分 ∠BAC 且 AB = AC ⇒ 三线合一，BD = ½BC = 3，AD = √(6²−3²) = 3√3；周长 = 6 + 3 + 3√3 = 9 + 3√3。
10. 2；4
    。周长与边长成正比（×2）；面积与边长的平方成正比（×2² = 4）。
11. 60
    。BD = CE，AB = BC，∠ABD = ∠BCE = 60° ⇒ △ABD ≌ △BCE（SAS）⇒ ∠BAD = ∠CBE。
    ∠APE = ∠ABP + ∠BAP = ∠ABP + ∠CBE = ∠ABC = 60°（外角定理）。
12. 3
    。BP = 6 − t，BQ = t，∠B = 60°。要 △BPQ 等边，只需 BP = BQ：6 − t = t ⇒ t = 3，且 0 ≤ 3 ≤ 6 符合题意。

🎯 方法速记卡
① 等边三角形是等腰三角形的满分形态：3 条对称轴、3 个 60° 角、每条边都能"三线合一"；
② 求长度只记一组比：半底 : 高 : 边 = 1 : √3 : 2，高 = √3/2·a，面积 = √3/4·a²；
③ 判定三选一：三边等 / 三角等 / 等腰 + 60°；"只有一个 60°"判不出来；
④ 求角两招：60° 直接给 + 外角等于两内角之和（外角 120° 也常用）；
⑤ 看到两个等边三角形共顶点，立刻手拉手：AB = AC、AD = AE、∠BAD = ∠CAE ⇒ SAS ⇒ BD = CE；
⑥ 动点要等边：先用 60° 降级成"等腰"，再列一个方程，最后检验 t 的范围。

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